O) — (JJ
= ej4- tV^î — ^8 ^ex — e%^
p = 2(ei — ej)v/«| — es — 2i(e2 — «8)/^i— ^2-
CBàP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 55
Définition directe de pu.
Sans passer par Fintermédiaire de sna, on peut envisager p^ comme uniquement défini par la relation
(23) p'*M = 4p'w — ^,pM — ^, = 4(pw — ei)(pw — «,)(pw — Ca),
de la manière suivante. I^es coefficiepts g^t gz étant réels et^i désignant la plus grande racine réelle, envisageons l'intégrale définie
dont nous appelons pu la limite inférieure variable, et faisons décroître cette limite pw de 4- oo à e|. Là fonction intégrée est toujours réelle et positive (le radical étant pris positivement), en sorte que u croît constamment. Appelons eu le maximum de u ou l'intégrale complète
Je, ^47' — gty — gz Je, 2 v/( j — e, ) ( j' — e, ) (7 — <?3)
De la sorte, pu se trouve être inversement une fonction réelle de w, décroissant constamment de 4- oo à ^i et, par conséquent, dépourvue d'ambiguïté. Elle est définie pour toutes les valeurs de u comprises entre zéro et (o.
En même temps, p'u se trouve aussi 'défini, comme égal au radical, pris négativement, puisque pu est une fonction décroissante.
Par ces définitions, Ct =pco est le minimum de pu et p'(o est
nul. On reconnaît facilement aussi (p. yi) que (pu -j devient
nul avec w, a toutes ses dérivées finies pour w = o et que les dérivées d'ordre impair sont nulles. On aura donc une fonction continue et restant finie de — o> à -|- o>, en convenant de prendre pour
(pu — -^ ) une fonction paire; par conséquent, on étend naturellement la définition de pu à l'intervalle ( — eu, o>) par la convention
(25) Pi—U) = pu,
56 PREMIÈKE PARTIE. — THÉORIE.
qui entraîne celle-ci
De cette manière, à chaque couple de valeurs pu, p'ii^ où pu est supérieur à ei et p'u réel et quelconque, correspond un argument unique u, compris entre — co et h- o).
Pour prolonger maintenant la définition en dehors des limites ( — 0), -f- 0)), observons les dérivées successives de pu^ déduites de (aS). On a successivement
p'u =6p«a-- J^„ p'"u = iipup'u,
11 est manifeste que les dérivées d'ordre pair sont des polynômes entiers en pu, tandis que les dérivées d*ordre impair sont de tels polynômes, multipliés par p'w. Comme p'co est nul, il s'ensuit que les dérivées d'ordre impair sont toutes nulles pour u = o). La continuité exige donc que Ton prolonge la déHnition en posant
(•27) p(w -f- W) =T jî(w — u),
ce qui entraîne
Ces deux relations, jointes à (20) et (26), donnent la propriété
(29) p{^nnii±: u) = pu, p'(%mo)Th u) =dz p'u,
contenant à la fois les deux précédentes. Les fonctions p et p' se trouvent maintenant définies pour toutes les valeurs réelles de u: elles sont périodiques, leur période est 2a>. Si, dans l'égalité (24), on fait
on obtient une égalité toute semblable
dY
De là découle la propriété relative à riiomogéuéité ; car on a, en conséquence,
(3o) p(w;^î,^3) = î^p("v^; Ji> g)-
Ici intervient le théorème d'addition, dont nous donnerons tout à riieure une démonstration directe et qu'on peut résumer en disant que p{u -^ v)^ p'('^ "î~ ^) s'expriment par une fonction rationnelle de puy p'uj pv^ p*v.
En même temps que pu=^ p{u\ g^i gz)i envisageons
fonction qui n'a pas besoin d'être définie de nouveau. Elle ne diffère de la précédente que par le changement de g^ en — g^. Le seul effet de ce changement est de changer aussi les signes des trois racines ^i, e^, ^3, qui deviennent ainsi — ^i, — <?2> — ^3» Si les trois racines sont réelles, alors la plus grande est maintenant — ea, l'ordre primitif étant supposé e3<C^2<C^i« En conséquence, la demi-période àe pu est définie, comme o), par une intégrale élen-
due de — ^3 à -t- do . La désignant par —> on aura
ei)
J^a formule d'homogénéité (3o) conduit maintenant à prendre pour définition de p(^w), avec u réel,
p(iu) = ~ pUy p'{iu) = i p'u;
puis, pour définition de p{a-h ioL)^ on adopte celle que donne le théorème d'addition, et l'on démontre que les fonctions J3 m, jd'm, ainsi généralisées, jouissent de toutes les propriétés reconnues pour l'argument réel. C'est ce qui a été fait dans ce Chapitre.
On ne peut manquer d'observer que cette analyse résumée s'applique parfaitement au cas où les trois racines ei, 62, e^ ne sont plus réelles, mais une réelle et deux imaginaires conjuguées. La seule différence consiste en ce que, dans ce nouveau cas, le chan-
gemeDl du signe de g^ ne substitue plus — e^k e^^ mais substitue à Tunique racine réelle cette même racine changée de signe. Cette circonstance amène quelques différences de détails, qui seront examinées dans le Chapitre III; mais on voit, dès à présent, qu^il n'existe pas de différence essentielle entre les deux cas, celui où les trois racines sont réelles, le discriminant positif, cas envisagé jusqu'à présent; et le cas nouveau où deux racines sont imaginaires conjuguées, la troisième réelle, le discriminant négatif, cas qui fera l'objet spécial du Chapitre III.
Nouvelle démonstration du théorème d'addition.
La démonstration suivante, qui fournit immédiatement le théorème d'addition sous la forme simple et élégante (1, aS) déjà envisagée, est un cas particulier de celle que nous reproduirons au Chapitre VII pour le théorème d'Abel.
Soit à déterminer u par l'équation
apu-^b = p'Uf où aet b sont des constantes données. Prenons pour inconnues
(3i) x = puy y = p'u.
Les équations du problème sont
(3a) ax-^-b^jr, y^ = i^^ — gi^ - gs]
d'où résulte la résolvante en x
(33) F(x) = ix^—gt/c — gi— {ax + 6)» = o,
qui a trois racines Xq^ ^i, X2j à chacune desquelles correspond un seul argument, sauf des multiples des périodes ; soient Uq, u^ , u-^ ces trois arguments. Chaque groupe {xr-^y^n Ur) varie avec a et b et dépend de ces deux variables suivant les relations (3i), (Sa), (33), où il faut supposer chaque lettre x^ y^ u munie de l'indice r. Si l'on fait ainsi varier a, 6, F(:rr) sera identiquement nul et, lar suite, sa différentielle totale sera nulle aussi. De là provient l'équation
^ ' oa db
CHIP. II. — ÀKGUMEIfTS I3IAGmAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 5g
Mettons pour les deux dernières dérivées leurs expressions explicites et remplaçons {aXr-\' b) par^r» suivant (32) :
F'{Xr)dxr— ^yri^rda-hdb) = 0, D'après un théorème attribué à ÏAiler, les deux sommes
Tn Xt Xf 1 I I
•^ !?// \ "^ 1?'/— \' TPI / ^ \ ' X?l / ^ \ ^^
F'(x,)^ F'(x,) F'(x,y F\x,) ' F'{xO F'(x^) sont nulles ( * ) ; donc on a
clx(t dxy dx^
ce qui, d'après (3i), se change en
duQ -h du\ -H du% = o, Wo -h Wi -h Mj = const.
Il sudBt, pour déterminer cette constante, de supposer a et b infiniment grands, leur rapport ayant une limite finie quelconque. Alors une racine pu^ devient infinie, les deux autres égales entre elles, et l'on a, sauf une période,
Mo = o, Mi = — Ml, Mo -H Ml -i- Mj = une période.
Donc la somme des trois racines u est égale à une période. De la relation (82), en y substituant successivement i/o "d "2, on tire ensuite les formules (I, 26), comme on l'a fait au Chapitre I.
Sur la liaison entre les invariants et le module.
Nous avons, au Chapitre I, exprimé les liaisons entre les invariants et le module par l'intermédiaire des racines ^i, e^j ^3. H est
(') En effet,
¥{x) {x-x^)¥'{x,) {x-x,)V'{x,) {x-x,)V\x,) Multipliant par x aux deux membres et supposant x infîni, on a
6o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
intéressant de faire disparaître cet intermédiaire. Voici les relations obtenues :
De là résultent ces expressions pour g2 et g^
puis la suivante, indépendante de ).,
C'est ici le lieu de faire connaître une propriété des deux polynômes formant les termes de cette fraction. On en peut former une combinaison linéaire qui soit un carré parfait, comme on le voit par l'identité
4(1 — A:«-i- A:*)3— (i -f- A-«)«(2 — A-«)«(i — aA'î)* = 27A-K1 — A*)«.
Pour vérifier cette identité, il suffit de remarquer que les deux membres sont, l'un et l'autre, des polynômes du quatrième degré en k'^ (les termes en A**^ et A"*® disparaissant au premier membre), et que ces deux polynômes sont égaux entre eux pour cinq valeurs de k'^^ savoir o, i , — 1 , ^, 2.
Se rappelant la définition du discriminant A,
on déduit de l'identité ci-dessus les rapports égaux
^ *^ 4(1 — A'-hA-^)' (I h- A«)* C-a — A2 )«(!-- -lA»)* ayAHi — A«)«'
Les rapports mutuels de ^2» ffl^ ^ ^^ dépendent pas de \ mais seulement de k^ : ce sont des invariants absolus. Pour voir comment ils varient avec A:^, nous allons considérer leurs dérivées, dont les expressions sont fort remarquables. On va les trouver comme il suit.
Pour avoir plus de symétrie dans les calculs, prenons les trois polynômes
CHàP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 6(.
qui coïncident avec les trois polynômes (34) si l'on suppose^' = i , X = A"^. Ils donnent lieu à l'identité qu'on vient d'établir
(35) 4A» — Bî— 27G« = o.
Dénotons par les indices i et a les dérivées partielles de ces polynômes par rapport à x t\.y\ ainsi
. àk . f)A dB ^»=d5' ^* = 5^' ^»=J^' *••*
Eu differentiant dans (35), on a
laA'A, — aBB,— 54GG, = 0, i2A«Aj — 2BB, - 54GGî = o; d'où résulte
B,G,— G,B, GjAa— AtG, A|Bg — BiA?
Dans chacun de ces rapports, les deux termes sont d'un même degré, 4 pour le premier, 3 pour les deux autres. Les dénominateurs n'ont aucune racine commune; donc ces rapports sont égaux à une constante indépendante de x, j', et il suffit de supposer, par exemple, x =^, pour reconnaître que cette constante est égale à — I . Ainsi
BiCj— GiB, r:- — I2A«,
(36) \ G,Aî--A|Gj= aB,
A,Bj — B,Aï= 5iG.
A cause de l'homogénéité en x^ y cl des degrés de A, B, C, on a, en supposant maintenant j' = i ,
A,-i-Aiar = 2A, B,-+-Bix = 3B, Gj-t-Gi^^SG.
Substituons dans les relations (36) et, au lieu de A|, B|, C|,
mettons A', B', C, dérivées prises par rapport à la variable unique x ;
nous aurons ainsi
