CHAPITRE IX. — DÉRITÊES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

Pour le cas où n est un nombre pair, Téqualion (80) s'applique encore à <}^„ (w). Mais ^n (") a la forme

et Wfi est un polynôme entier en pu^ dont on connaît le premier terme (IV, i3),

11 convient donc de faire, dans l'équation (80), le changement On trouve ainsi la transformée

Il existe aussi une équation linéaire aux dérivées partielles, du second ordre, satisfaite par la fonction v,^ (Chapitre IV) avec les variables indépendantes yi etyj; mais cette équation très compliquée n'a pu être utilisée, et nous renverrons le lecteur au Mémoire où il pourra la trouver, s'il le désire (*).

Sur un système d'équations différentielles.

Nous avons vu précédemment que, si z est une fonction homogène et du degré zéro, sa dérivée, par rapport à û = log^/, s'obtient ainsi

Nous avons aussi formé D^a; de l'expression (aS) trouvée pour cette quantité, résulte, ainsi que de Dto= — ar^,

(*) Sur deux équations aux dérivées partielles relatives à la multiplication de l'argument dans les /onctions elliptiques y par M. Halphen {Comptes rendus f t. LXXXVIII, p. 698; année 1879).

33o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Joignons encore la relation (67)

observons que g^to* est exprimable pare^co^, 62^^, ^sw^, ainsi

et concluons que les quatre quantités TjO), eaco^ vérifient un système d'équations différentielles, dans lequel la dérivée de chaque inconnue, par rapport à û, est exprimée sous forme quadratique et homogène en fonction des inconnues.

Comme la somme des trois quantités Caco^ est nulle, on peut introduire trois quantités seulement, au lieu de quatre.. Posons donc

a:a=7ia)-h^;aU)«, a, p, Y = i, 2, 3.