CHAPITRE X

DÉVELOPPEMENT DES PKUIODES EN SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES

Équation liypergûométriquc. — Série Iiypergéomélriqup. — Diverses solutions de l'équation hypergéométriquc. — Cas parliculicr où l'un des coefficients est nul. — Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminunt positif. — Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminant négatif. — Développement de K et K'. — Intégrales complètes de Legendre.

Équation hypergéométrique.

Soit réqualion

dx^ ' \x — ai X — a% x — a^J t/.r

, , ) I *- i — yi — ya-ya F j -7,-7,-^-7,

i 4 l(x — ai)(x~ai)

' — 75-73-^71 ^ l 1.7jLZlZL±L^i l .

Elle a deux propriétés caraclérisliqiies :

i" Si l'on y fait^>' = (x — «4)^1 Y, la transformée en Y ne diffère de la précédente que par le changement de </, en — <jr,. En eflel. en dénotant les dérivées par des accents, ou a

y y x — rti Y ' (j* — a^)^

d'où résulte

y x — ai y Y x — a^ Y '

•ï* — (^i y ^ — ^2 Y {x — ct\)i^x — ai)

I — 7i 21' = Lll-^l X' ^ 7i^' — 7^^ •a? — «3 ^' ^ — «3 Y ' (J7 — ai)(-p — as)