CHAPITRE X. — SÉRIES HYPERGÊOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

D'ailleurs

^ (i-yi — y»)'— <y| -^-4<yi(i — yi)

Le coefficient de y^ dans (i), se compose de la somme de trois lermes. La dernière égalité montre que le premier de ces trois termes subit la transformation indiquée; en échangeant les indices 2 et 3, on obtient pareil résultat pour le troisième terme; quant au second, il n'est pas altéré par le changement de qx en — <7,. Le résultat annoncé est donc établi.

2° Si l'on fait le changement de variables

"^ = i^\ ' :^ = Y(a'X + ?')''"' «"'"" accompagné du changement de lettres

la transformée en X, Y reproduit la proposée, sauf changement de x^y, «1, «a, «3 en X, Y, A«, A2, A3. Pour le prouver, soient

' — qi— qi— 7i ,. /v , of ,. ' V i o'.

on en déduit

11 suit de là les relations

I dy

1 d^y y dx^

dy __ u l i^d\ A

dx " a3'-pa'V"Y dX'^'"'' )'

Si l'on écrit la transformée ainsi

Y €/X« "^ Y t/X "^ ^ ■" ^' ses coefficients auront les expressions suivantes :

A — Al A — Aj A — Aj

^ Ti^T -+-!;« -t-T»!^ X — A, X-A, ^ X-^A, J

X r (i — ^1 — 7^-4-^3)^1 Mî

2L (X-Ai)(X-A,)

Dans l'expression de uP, remplaçons 2(t -f- 1) par

(I — <7, ) + (i — qt) -^ (I — 7a),

qui lui est égal. On a

X — Al X — Al X — Al X — Al

La même transformation élant faite pour chacun des trois termes analogues, il en résulte

P = '-^' -4- J-y» .H IS-^' .

X — Al X — Aj X — A3

Le coefficient P a donc bien la forme annoncée.

Pour s'assurer qu'il en est de même à l'égard de Q, considérons

la quantité

! (i-yi-y. 4-7,);/,»

" "^-^ 1 (X-Ai)(X-A,) ^••••

Décomposons cette dernière en fractions simples. Comme on a

a2=(a'XH-?')î,

il existe d'abord une partie entière