BA'— 2AB':.= 54 G

et, par conséquent,

/BY___4^\* /An'__2A«B /B«Y 5^CR \G/"" G"*' \CV~ G^ ' \AV~ \>

On a, par conséquent,

P = / ^ log —^ = log — .

Cette quantité p, comme on le voit, devient infinie pour £ = o; mais la différence (o) — p) reste finie. Nous allons le reconnaître et en trouver la limite.

Réunissant sous un même signe d'intégration les deux fonctions intégrées, nous avons

^e, * Lv/(7 — ^i)(7 — ^j) W^-^-^a )/e^-^ia) /cj^-aa 7 J ' mais la fonction qu'on intègre ici peut être écrite

' iL-i/y^^ '— 1.

et l'on voit qu'elle reste finie, même à la limite inférieure j^ = ei, quand e-^ et e^ convergent l'un vers l'autre ; donc, encore ici, la limite de l'intégrale est égale à l'intégrale de la limite, et nous avons

Soit, pour un instant, b^ a] on a

dy b

r'' dy i

Jb ^ (7— «)/7-^2a

En ajoutant membre à membre, nous concluons

CHàP. II. — ÀKGDMENTS IMAGINAIRBS. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 67

Supposons maintenant b = a, et concluons

liin(a) — p) = — -T= logia.

Nous avons trouvé pour p une expression qui diffère de — ■==: log — seulement par un infiniment petit; donc enfin

liin(ai /^^»og ) =0.

Faisons disparaître de ces résultats a, e ; mettons en leur place les invariants g2j gz et, avec eux, Tinvariant absolu

dont il sera plusieurs fois fait usage. D'après les expressions cidessus de Ci, ^2, ^3, et celles de giy gz p^i* les racines, nous avons

^2 = 4(3a«-e«), ^3 = 8a(a« -Eî); A^2«.3*a*£*, J = — , - = /3J, 2/3<i = lim(i2^i)*.

Nous pouvons, par conséquent, résumer nos résultats ainsi : Quand le discriminant devient nul et que gz est négatif, on a

A = o, gi < o, J =-- -H 00 ,

II* V *'^' Iimvi2^î-.- = ir, * lim [v^i2^i w — log(24 /^ J )] = o;

à quoi nous pouvons joindre, sôus une autre forme.

(40 lim/3J

Si maintenant nous voulons avoir les formules analogues pour

Cil'

le cas où g^ est positif, nous n'avons qu'à échanger w et — ; donc: Quand le discriminant devient nul et que g^ est positif, on a

^ = o, /Ta > o, J = -h 00 ;

Ir V lim[i'7ïir^'-log(a4/3J)]=o;

(43) limv/3Je '^ = ïV-

Il est facile de compléter ces résultats en concluant les analogues pour K et K'. Dans le cas des formules (4o), nous savons que l'on a (p. 63)

^ = /XK', limK'=-;

donc

D'autre part, d'après les égaillés (34), nous avons à la limite, pour

et, d'après (*>= yOy.K, nous pouvons conclure ainsi : Lorsque k' tend vers zéro, on a

limK'=-, ) .^K

(4'») { , ,v } lim ,,^ - = A'

lim (k - log I) = o

De même, pour le cas des formules (4^) : Lorsque k tend vers zéro, on a

limK= -, » -^'

jlim(K'-Iog|.)=o)

Dans le Chapitre VIII, on retrouvera ces expressions asymptotiques par d'autres moyens.

CHAPITKE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS. 69