CHAPITRE X. — SÉRIES HTPERGÉOBffiTRIQUES POUR LES PÉRIODES

On aura, pour la seconde période, une formule telle que

^?;Q = a|Q + lIogj[o,I,i;l]j + p[o,l,i:i],

où a et ^ seront purement numériques. Mais on a vu, au Gha-

pitre II, que, û désignant soit co, soit -r suivant le signe de g^j la

quantité

{/^ 12 v/2 /3 - log 24 /ST

converge vers zéro, quand J devient infini. Il suit de là

é^i^o, v^«Y I \^ r I I il, .,A-f

Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu.

Disco'iminant négatif.

Pour le cas du discriminant négatif, nous distinguerons suivant le signe de g^t ^^^ nous allons d'abord supposer positif. Les relations

font voir qu'en ce cas J est négatif; il y aura convergence pour les développements suivant les puissances ascendantes de j

et de » Voyons d'abord les derniers. Ils correspondent à

Tordre des indices i, 3, 2, et voici les deux intégrales particulières

— [r<"î'ii]<-'>"^'

^ 1 Pour obtenir une demi-période co, il faut multiplier par A >*

On aura donc des expressions de celte forme

OÙ a, p seront numériques. Si ^3 est positif et que g^ devienne nul, on a (III, p. 83)

On n'a pas jusqu'à présent, croj'ons-nous, calculé cette intégrale définie, mais on pourra trouver, au besoin, son logarithme par les Tables des logarithmes des fonctions F, auxquelles nous renverrons. En posant donc

et observant que J s'évanouit avec ^2» nous aurons déjà, dans le cas où gi est positif, les valeurs numériques c et c y/3 du coefTîcient a, répondant à CO2 et -7^ • Soit maintenant

Nous en conclurons

et, d'après les relations (IX; 53, 62, 49)? par un calcul tout semblable à celui qui a été fait un peu plus haut,

Déjà, au Chap. WW {Observations sur les cas particuliers, etc.) nous avons reconnu l'égalité