CHAPITRE III

DISCRIMINANTS NÉGATIFS.

Définition de pu pour un argument réel. — Homogénéité. — Limite de u'^pu pour 11 = 0. — Addition des arguments. — Arguments purement imaginaires. Arguments complexes. — Périodes. — Les trois demi-périodes. — Infinis de lu fonction pu. — La fonction pu passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires. — Variation des périodes avec les invariants : rapport des périodes. — Cas où g^ est nul. — Cas où g^ est nul. — Lemme sur les expressions asymptotiques de certaines intégrales définies. — Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant devient nul. — Dégénérescence de pu.

Définition de pu pour un argument réel.

On a déjà vu d'une manière sommaire, au Chap. II (Définition directe de pu) comment s'introduit la fonction pu quand le discriminant est négatif. Nous allons reprendre cette définition, montrer rapidement comment les propositions déjà connues s'appliquent à ce nouveau cas et insister seulement sur les différences qui s'y rencontrent.

Soit

un polynôme ayant deux racines imaginaires conjuguées e^ , e^ et une racine réelle e2» Cette circonstance est caractérisée par la condition que le discriminant doit être négatif.

L'intégrale définie

où le radical est pris positivement et où la limite inférieure varie entre + oo et éj, croît quand pu décroit. Soit wj l'intégrale complète

dy

. Hky)

par le moyen de TégaUté ( 2), la fonction p m se trouve définie sans aucune ambiguïté pour toutes les valeurs de u dans l'intervalle (o, W2). En même temps p'w est défini comme égal au radical /?r« négativement, puisque pw est une fonction décroissante.

Nous étendons maintenant la définition à toutes les valeurs réelles de u au moyen des relations

entraînant celles-ci

p'(— ") =^ — P'w, p'(m 4- aci)j) = p'a et se résumant ensemble par les égalités

(\) p{2nniif±: u) = pu, p'(2ma)jrh a) =±p'a.

Les fonctions pi^et p'a sont continues, on l'établit comme il a été dit au Chap. II. Elles deviennent infinies quand u est un multiple, positif ou négatif, de 2(i)s. La première pu est toujours supérieure à e2, qui est son minimum, et Ton a

la seconde p'u prend toutes les valeurs réelles et change de signe en passant par zéro ou par l'infini, quand u passe par une valeur multiple de (02 , multiple impair dans le premier cas, pair dans le second.

On conviendra de distinguer les deux racines imaginaires def{y), en prenant pour e^ celle dont la partie imaginaire est positive. Soient

Les relations entre g^^ gz et les racines sont les suivantes

te Ton voit que ^3 a le même signe que e^-

Homogénéité.

La définition (2) rend évidente, comme il a été expliqué au Chap. II, la relation (II, 3o)

(7) p(«; ^1,^3) =!xp (///?; g, p)-