CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOURLE INDICE

soit aussi moindre qu^une quantité donnée, cela en vertu de la convergence de /(m). La démonstration sera complète si l'on établit qu'on peut aussi choisir M et M' assez grands pour que la somme des termes, composant la seconde partie dans la formule (i), soit elle-même moindre qu'une quantité donnée.

On a remarqué, dans le premier paragraphe de ce Chapitre, que

les valeurs de — = i' ont la forme (pio -{-/?' w'), les fractions /?, p'

étant comprises, la première entre zéro et -j-i, la seconde entre — I et H-i. Dans ces limites, les fonctions pv^ p'v, p"v ont le seul inGni ^^ = 0; par conséquent, les produits v^pVy — ^^^p'^t ^v^p"v, égaux à Tunité pour v =^0, restent finis, et Ton peut assigner des limites supérieures aux valeurs absolues de chacun d'eux. Ceci reconnu, prenons d'abord, dans la formule (i), le premier terme sous le signe de sommation. En l'écrivant ainsi

^' n \{-\v^?'vy

. / W il' \ * ^ / I II I . \ *

\ n n I \n^* n ir* ' /

nous reconnaissons qu'il a pour expression asymptotique

Puisque ( — ^ v^p^ vY est une quantité limitée, ce terme est comparable à — > terme général d'une série absolument convergente;

et l'on peut prendre M et M' assez grands pour que la somme dé tous les termes analogues soit aussi petite qu'on voudra.

Prenons ensuite, dans la formule (i), le second terme sous le signe de sommation. On peut l'écrire

son expression asymplotique

est comparable à — ^> terme général d'une série absolument convergente, et la conclusion est la même que précédemment. Il est donc établi que la fonction pu est représentée par la série convergente

«' = 2n(o-f-'2/ia); ,{=o, rîzi, =îz2, ..., ir»;

n = n'= o excepté.

Observations sur le développement de pi^. Double périodicité.

Une des premières conséquences de la formule (6) se rapporte à une nouvelle forme du développement de pu suivant les puissances ascendantes de w. Effectivement, chaque terme étant développé suivant ces puissances, on obtient

Comparant cette formule à celle qu'on a déjà obtenue (IV,. 4 )> on en déduit

Ainsi toutes les séries 7 — r- ^ où m est un nombre entier

positif, au moins égal à 2, s^expriment en fonction rationnelle et entière des deux premières d'entre elles. C'est là un fait algébrique des plus remarquables.

L'observation qu'il y a lieu de faire ensuite sur la formule (6), c'est que, peu utile pour le calcul numérique, elle est merveilleusement propre à mettre en évidence la nature de la fonction pu. On y lit, en effet, immédiatement que pu devient infini pour u = w, et que [{u — ^v)'^ pu]u=w ^ pour limite l'unité. La double