CHAPITRE XL — SÉRIES A DOUBLE INDICE

périodicité n'est pas moins manifeste; car, si l'on change u en w -f- VV\ (cV| étant une des quantités w)^ tous les termes qui contiennent u s'échangent les uns dans les autres. Toutefois la composition, un peu complexe, du terme général, formé de deux parties, ne laisse pas apercevoir tout d'abord si j)(m -j- w^) reproduit pu sans changement, ou bien augmenté d'une constante. Il est bon de vérifier sur la formule (6) que c'est le premier cas qui a lieu.

A cet effet, considérons d'abord la série 7 z rr >

où la sommation s'applique à toutes les valeurs w=l 2/ia)-i- a/i'w', sauf w =.0 et çv = — (v, . Cette série est absolument convergente, puisque c'est simplement la précédente où l'on a remplacé u par (V,, après avoir écarté deux termes. Puisqu'elle a une somme déterminée, cette somme est zéro; car l'ensemble des quantités-^

ne diffère pas de l'ensemble des quantités . r^ • Nous pouvons

donc écrire la formule (6) comme il suit :

iv = o, — (V| exceptés.

Cette dernière forme coïncide encore avec la suivante

(V = — iV| excepté.

Si l'on change maintenant w en [w — (V|), on pourra écrire

aussi

^" ' ^"'^ 2à\su-^-w^ — wY w^\

iv z= o excepté.

C'est justement l'expression de p ( w -f- fv, ) suivant l'égalité (6) sans aucune transformation. On a donc vérifié directement la relation

p(ii-f-iv,) = pa,

qui exprime la double périodicité.

Développement de p'uy de p'u^ etc., en séries

à double indice.

Pour obtenir, à Tégard de jd'w, p'^Uy p'"u^ ..., les développements analogues, nous avons le choix entre deux moyens. Le premier, celui qui paraît d'abord le plus simple, consiste à prendre les dérivées aux deux membres dans la formule (6). Pour la rigueur, il suffit seulement de se convaincre que les dérivées de la série (6) sont égales aux séries composées avec les dérivées des termes. Ce fait résulte de ce que les séries ainsi obtenues sont uniformément convergentes par rapport à « (*), et cette propriété s'établit immédiatement au moyen de l'analyse qui précède.

Mais une autre voie, non moins facile et plus conforme à notre mode d'exposition, s'ouvre aussi, et nous allons la suivre, en dérivant les deux membres de la formule (i); puis, comme précédemment, nous supposerons n infini. Voici, à cet effet, une transformation de l'égalité (i). Prenons la formule d'addition, pour la fonction t^ (V, i6a),

pu — pv et concluons, en dérivant par rapport à v.

p'îp pV

p{u -i- ç) -h p{u — v) — ipv = ^ -

ipu — pv)* pu—pv

Mettant -> — au lieu de u et ^j et nous reportant à la formule

(i), nous pourrons l'écrire ainsi

OU mieux encore

II u I v^ r / u — w\ wl

(v = 2ma)-h2mu>, ,=o, ini,di2, ...,=t ,

m = m'= G excepté.

( * ) Au sujet de la convergence uniforme et de la différcntiation des séries, on peut consulter le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, par M. C. Jordan, t. I, p. 117.