CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS. 7I

Limite de u'^pu pour u = o.

D'après la déCnilion (x), s\ pu est infiniment grande la partie principale de u est

Jpu /47' \/pu Donc on a

liin.w*pM = i, pour a = o.

La partie principale de j3 2/ étant — > celledep'aesl j> et l'on

a en même temps

ïimu* p'u — — 2.

Addition des arguments.

La démonstration directe, donnée au Chap. II, s'applique ici sans modification. Nous en ajouterons cependant une autre comme il suit.

Soit

i\ pu — pv I

U a été prouvé, au cas du discriminant positif, que cette combinaison F est égale à p( w -f- v). On a donc, pour ce cas,

(9) 5ïï = ^^=^v'4F'-<r.F-ér..

Cette relation n'est pas une identité par elle-même, mais seulement en vertu des deux égalités

I p'«p =4pîi;— ^,pi; — ^,.

Comme ces égalités (lo) ont lieu aussi pour les fonctions qu'on vient de définir au cas du discriminant négatif, les relations (9) ne cessent pas d'être exactes.

Comme F? t" » j~ sont réels, il suit de ( 9) que le radical est réel

aussi. Donc F et le radical, pris avec le signe dont il est affecté dans (9), sont égaux respectivement à pU et p'U, U étant un cer-

tain argument dépendant de u et de \?, Sa liaison avec m, v est exprimée par (9), sous forme d'équation différentielle, ainsi

-r— = -T- — pu -T- = pu -r- = p U,

Ou dv *^ du ^ dv * ^ du ~^' dv ■"''

donc U = a 4- ^ -h coiwbI. Si l'on donne à F la forme (1,23)

^{pu — pv)^

en voit, pour i^^ o, F se réduire à pu. Ceci résulte de ce qui a été établi au paragraphe précédent. On a donc simplement

C'est ce qu'il fallait prouver.

Arguments purement imaginaires.

En même temps que

pu^p{u\gt,gz), considérons

(la) vu = p(u\gt, — gi),

qui a même déGnition que pu, et en diffère seulement par le signe de ^3, sans influence sur le signe du discriminant. La

demi-période de pw sera désignée par -4> en sorte que w^ sera

une quantité purement imaginaire; sa définition sera

On passe de (^2? gs) à (^2? — 5*3)) en changeant les signes des trois racines. Pour conserver la convention relative au signe de la partie imaginaire dans e^ , il faudra, comme dans le cas où le discri- ^

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rainant est positif, changerai, es, e^ respectivement, et dans cet ordre, en — e^, — €2, — ^1 •

D'après la formule d'homogénéité (7), nous prenons comme définition de p{iu)j avec a réel, la relation

(i4) p{iu)=: — pu,

qui entraîne cette autre

(i5) p'(ia)= ip'u.

On démontrera, exactement comme au Chap. [I, que, pour un argument purement imaginaire, les fonctions ainsi définies vérifient les diverses relations établies jusqu'à présent pour un argument réel.

La fonction p{iu)^ où u est réel, est elle-même réelle et comprise entre et et — QO ; e^ est son maximum et Ton a

(16) p^'i=ei, p'wj = o.

La fonction p'{iu) est purement imaginaire, et ^-^. — peut acquérir toutes les valeurs réelles.

Arguments complexes.

La définition de p w, pour m = a -+- e a, se fait exactement comme au Chapitre II, par la formule d'addition, et Ton prouve que : i°pw a une dérivée p' u satisfaisant à la relation

(17) p'«M =ip^U- g^pU — g^\

a** ces fonctions vérifient les formules d'addition^ et aussi 3** les formules d'homogénéité.

Périodes.

Nous voici maintenant au point où apparaît une différence entre les deux cas distingués par le signe du discriminant. Les deux demi-périodes Wj et w^ correspondent, d'après (5) et (16), à une même valeur pour p; on a

pwi — pw', = ej, p'a)j= p' («>',= o.

Par le même calcul qu^au Chapilre II {Addition des demi-périodes)^ on a

p(u -f- loj) = ei-f

pa — ej

p( M -4- 0),) = CjH >

pa — es

Changeons dans cette dernière relation u en (w — 0)!^), ou en (m -f- (*)!j), et nous aurons

p(a-^ci)i — 0)2 ) — pa,

p(a-+- wj-i- Cl)', ) = p(M-f- acoj) — pa.

Il n'existe donc pas seulement les périodes 2/720)2 4- a m' (*>!,, mais encore (am -f- 1)0)2-4- (a/n'-!- i)o>!j. Considérons les trois demi-périodes

dont les deux extrêmes sont imaginaires conjuguées; nous allons montrer qu'elles correspondent à e^, ^2, ^3, exactement comme, dans le cas du discriminant Ipositif, cela avait lieu pour o), 0)" = 0) -4- 0)' et 0)'.

Les trois demi-périodes.

Soit posé, comme au Chapitre II (Quarts de périodes)

et prenons a = 2, ^ = 3, y = i, par conséquent,

6* = — (e,— ei), c'=ej — ea.

Nous avons déjà employé la notation

Ci=r— a-hiP, es — — a— ip, ei=2a, p > o. Choisissons (19) /e,— e, = v/3a-+-ip r=p — iq; /? > o, 5^ > o,