CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

La formule (i4) met en évidence la nature de la fonction <iù, qui s'offre nettement comme ayant, pour toute valeur de w, une valeur finie; on y voit les racines u = (V. Quant aux propriétés relatives à Faddition d'une période, leur vérification n'offre aucune difficulté ; il suffit, pour la faire, de reproduire exactement le calcul qui a été développé dans le paragraphe précédent à l'égard de la série ^u. Mais cette vérification va être effectuée d'une autre manière; ce sera une des conséquences de l'analyse qui va suivre.

Transformation de ^{u-ha).

D'après la formule (i4)> l^s facteurs du produit infini <i(u -{-a) ont la formef i )• Notre but actuel est de remplacer ces

facteurs par ( i ZT") * ^^ rapport de ces facteurs est indépendant de u, car on a

C'est dans la transformation des exponentielles que réside le calcul. L'exponentielle qui accompagne le facteur envisagé a pour exposant p,

Considérons les deux quantités suivantes

et retranchons-les de p ; voici le résultat :

(i5) p = pi-Hpj-f-|u« -- — î — -- ^u(\ -H -î- -4 ' — ).

Mettons, en outre, le premier facteur {u-^-a) sous la forme

Remplaçons maintenant, dans le produit infini <^(a + a), p par

Texpression (i5) et partageons ce produit en quatre autres, tous absolument convergents :

I® Une exponentielle dont l'exposant est

2® Une seconde exponentielle dont l'exposant est a i -+- V — î H --+-—- I = M Ça ;

3** Le produit provenant de Tadjonction des facteurs eP« aux binômes ( I j > avec le facteur a du produit (16),

4** Le produit provenant de l'adjonction des fadeurs ePi aux binômes M zr~)' ^"^"^1 on adjoint les deux derniers facteurs

(16). Ce produit a la forme

1 / Il \i II

('7) II('~.ir=rs)'' "=^^"'"^'

où w parcourt toutes les périodes,^ compris zéro. De cette façon, nous obtenons la formule