CHAPITRE XI. — SÉRIES À DOUBLE INDICE
nous tirons cle(i8)
ou, sous une autre forme, en posant u -^ a = b,
par conséquent,
G étant une quantité indépendante de u. Si ^ W| est une demi-période effective, c'est-à-dire n'est pas une des quantités iv, on déterminera G par la supposition w = — ^iV|. Gomme ^u est manifestement une fonction impaire, on aura par là (en mettant ô au lieu de \^y\)
( 19) -^-zrr, = - e»r.(a-Hco),
■a IL
formule supposant essentiellement que w ne soit pas une période. Par l'addition successive de 2 0), on obtient, comme on Ta fait au Ghapitre VI (p. 182), la formule générale
où l'on doit prendre le signe moins quand w n'est pas une période, le signe -h dans le cas opposé.
Nouvelle déûnition des fonctions elliptiques.
Après avoir introduit les séries 2r (Ghapitre VIII), nous avons été conduits naturellement à généraliser les fonctions elliptiques : pour ce but, il a suffi de supposer, dans les séries Sr, les deux périodes remplacées par deux quantités arbitraires, dont le rapport fut imaginaire. Dans le Ghapitre actuel, nous avons emprunté seulement les notions établies avant l'introduction des séries 2r. Nous pouvons, avec les nouvelles séries, généraliser aussi les fonctions elliptiques par le même moyen. G'est ce que nous allons faire, et la suite de notre analyse nous ramènera, dans le Ghapitre XII;
aux mêmes séries 2r, qui se présenteront ainsi d'une manière moins directe, mais plus naturelle, et plus conforme à l'ordre historique.
Voici donc le problème que nous allons traiter. Désignant par w et b>' deux quantités arbitraires, dont le rapport ne soit pas réel, nous prenons les trois fonctions pi/, ^u^ <^//, définies par les égalités
^u^-uYl{.-l)
tv
W == 2/1(1) -+- 2/1' o)'; , [ = o, db I, dt 2, . . ., ih 00 ,
/l rrz /l'rrz O CXCCpté.
Nous nous proposons de prouver que ces fonctions jouissent des propriétés signalées comme caractéristiques dans le Chapitre VI (Propriétés caractéristiques de du^ p. 184), savoir
(22) ^, ^. ' =i^v — pu.
Les propriétés de périodicité de ces fonctions ont déjà été tirées des seules formules (20), et nous avons démontré que, 2c5 désignant une quelconque des quantités (v^, on a
1' p(a -+- 2Û) = pw, Ç(a -+- 20)) = Ça -h 2fp
La lettre ii\ désigne une quantité dont nous avons obtenu le développement. Enfin, par le moyen des seules formules (20), nous avons aussi obtenu l'égalité (18), où s'introduit une fonction à deux variablesy^(w, a). Cette dernière est définie par un produit d'un nombre infini de facteurs (17).
