CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Il peut d'abord sembler inutile de prouver les égalités (21), qui résultent de la dilTérentiation dans le produit iu et dans la série ^u. Mais la seule preuve générale que Ton possède pour la différentiation des séries n'est pas assez élémentaire, et nous ne voulons pas l'invoquer ici. Au surplus, il n'est pas dénué d'intérêt d'établir les égalités (ai) par un raisonnement facile et court, fondé sur la formule (18).

Nous allons faire usage de la formule de Taylor, limitée à un terme quelconque, avec l'expression du reste ^ telle qu'elle a été donnée par M. Darboux (*) pour les variables imaginaires,

l cp(a-+-A) = cp(a)-i-/icp'(a)-h...

H ç(«)(a)-i-X^ ^- li— o(«4-i)(a-f-eA).

Dans cette formule, le facteur \ constitue la seule différence avec la formule depuis longtemps classique, mais propre seulement aux variables réelles; a et h sont réels ou imaginaires, 6 réel et compris entre zéro et + i,/? arbitraire; enfin \ est une quantité inconnue, mais dont la valeur absolue (module) est inférieure à Tunité.

Appliquons cette formule avec les suppositions

o(/i) = log(i — A), a = o, /i = 2, /> = 3;

Delà définition (17) tirons le développement de log/(w, a) et remplaçons chaque logarithme suivant la dernière formule; nous aurons

iog/(u,a)=-y(-^i-y- — \ — ^.

\ il' — aj

Bien entendu, les quantités inconnues A et 6 dépendent de u et varient d'un terme à l'autre. Mais, supposant u suffisamment petit en valeur absolue (et nous allons le supposer tout à l'heure infini-

(' ) Darboux, Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable {Journal de Mathématiques pures et appliquées^ 3« série, t. III, p. 291).

38o PREMIÈRE PART». — THÉORIE.

ment petit), nous voyons que le second facteur, sous le signe de sommation, est essentiellement limité. On peut notamment, en limitant i/, faire en sorte que l'on ait

V w — aj en valeur absolue.

Comme la série 2 , ^ ^^^ absolument convergente, nous

avons, en résumé (la valeur absolue de u étant limitée),

F(a, a) = log/(a, a) = Aa»,

et A est une quantité toujours finie. Donc d'abord F est nul avec m. En second lieu, le quotient de F par u est nul aussi avec u. Donc F a une dérivée par rapport à //, et cette dérivée est nulle avec w. Ensuite le quotient de F par u^ est nul en même temps. Donc F a une dérivée seconde par rapport à w, et cette dérivée est nulle aussi avec u.

Ceci reconnu, prenons, par rapport à e/, la dérivée logarithmique au second membre de (i8), et faisons u = o. Cette dérivée se réduit à Ça. D'après l'expression du premier membre, on a donc

et, par suite,

Prenons la dérivée seconde du second membre de (i8), toujours par rapport à u, puis supposons w = o. Cette dérivée se réduit à — pa. On a donc aussi

£.^logga = -pa,

et les égalités (21) sont démontrées. Il reste à prouver l'égalité (2a).

Mais nous ferons plus, et nous établirons directement la formule de décomposition en éléments simples (Chap. VII) pour les fonctions doublement périodiques composées avec des produits cl des quotients de fonctions d.