CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE
Nouvelle démonstration pour la décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples.
Considérons la fonction suivante
{2:}) ^^u)- ^^^^__cL):f{ii-b),,,:f{u — t)'
où les facteurs sont en même nombre au numérateur et au dénominateur, où, de l^lus, la somme des racines est égale à la somme des infînis
On Ta vu au Chapitre VII, ceci est la forme générale des fonctions rationnelles de pu ti p' u] mais actuellement nous devons faire abstraction de ce fait : nous avons seulement, diaprés la relation (a3), une conséquence de la condition (26) : ^{u) est doublement périodique. Nous profiterons de cette propriété au cours de notre analjrse ; mais c'est d'une autre manière que la condition (26) manifeste son importance tout d'abord.
Prenons, pour chaque fonction d dans le produit (aS), un facteur de son développement, celui qui répond à une même période iv. La condition (26) a pour effet de faire disparaître u dans Texponentielle. Si, pour abréger, on pose
on obtient cette expression de ^{u) en produit infini absolument convergent
(^") \ T-r(cp — a-f- a')(w — m-h6'). ..(tv — a-+- ^') ~
xA (tv — u-ha)(w — u-^ b).,,{w — u-{-t)
tv
Si nous limitions les valeurs absolues de n, n', nombres qui composent w = 2/1(0 + 2/1' (o', ^(u) se changerait en uue/raction rationnelle <f (w).
Nous pouvons considérer *(w) comme la limite vers laquelle
converge cette fraction ç(w), quand, supposant toujours
les nombres N et N' deviennent infinis. Cela étant, nous allons décomposer cp(w) en fractions simples et chercher la limite de la formule de décomposition; ce sera une nouvelle forme de ^{u). Les deux termes de la fraction 'f (w) étant d*un même degré, la partie entière, dans la décomposition, est indépendante de u. Soit C cette partie entière. Les fractions ont pour dénominateurs
(a — a — tv), {u — ù — w), ..., (w — t — ip),
avec les diverses valeurs de w, y compris zéro. Les numérateurs de ces fractions, ou résidus, sont respectivement
«1*»= [(m — a — iv)«p(w)]«=/i4-H.,
xiv= l(w — ^ — w)9(u)]„=t^w.
Comparons-les avec les résidus correspondants de ^(w), savoir
'Zw=[iu— t-'W)^{u)].,-i+^v-
Chacun des derniers, a^par exemple, est le produit de facteurs en nombre illimité, mais ce produit est absolument convergent. Chacun des premiers, 0L^^, par exemple, est le produit de facteurs en nombre limité, et tous les facteurs qui composent a^ font partie du produit a,^, absolument convergent. Mais la double périodicité de ^(u) nous apprend aussi que les résidus a^, p^^, ..., t^ sont indépendants de w, et coïncident avec a^, Po> • • m '^o- Le produit, absolument convergent, a^ a donc une valeur finie, qui ne varie pas avec w^ et l'on peut déjà affirmer que a^^ a, lui aussi, une valeur finie, dont on pourrait assigner une limite supérieure invariable, si grands que soient les nombres n et n!, 11 en est tout autant pour p[^,, . . ., t^. Soient donc M et M' deux nombres arbitraires, mais qu'on ne fera pas varier avec N et N'. Prenons les
