IV

Nous servant de l'identité

I IV v^

et y mettant successivement (u — a), {u — à), .. ., (u — t), à la place de Çj changeons Si en la somme de deux autres quantités :

Cette dernière quantité êi donne lieu à l'observation suivante. Les numérateurs étant limités en valeur absolue, les termes qui composent ei sont ceux d^une série absolument convergente, car les dénominateurs sont comparables à w\. Donc on peut prendre M et M' assez grands pour que Si soit inférieur à une quantité donnée, si petite qu'elle soit.

Prenons, d'autre part, les fractions où ± n et ± n' sont moindres respectivement que M et M'. Quand cv est ainsi limité, et que N, N' deviennent infinis, y(w) tendant vers ^(w), aj,, tend vers a^= ao. Donc a^, p|^, . . ., t|^ diffèrent de a©, Po, • • •> 'ïo par des quantités que l'on peut rendre aussi petites qu'on voudra en prenant N et N' assez grands. La somme S de ces fractions peut donc se représenter par

S = e-i-ao V î ^- ?o zl T h...-+-To V J ;

\^u — a — w ^ ^du — o — w \^d u — t — w

384 PREHIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

et e désigne une quantité infiniment petite quand N et N' sont infiniment grands. Ici (v, rappelons-le, est une période quelconque, y compris zéro ; mais ± n et ± n' ne dépassent pas les nombres fixes M et M'.

Maintenant, en ajoutant et retranchant certains termes, écrivons

S sous la forme

L 1/ — a ÂÊd, \u — a — w w w^ J J

\^u— t ^ Xu—t — w W w* / J

Dans ces dernières sommations, (v=: o est excepté. On voit que R. se compose du développement de

limité aux termes où /i, n! ne dépassent pas M et M'. La différence e' entre R et cette dernière fonction peut donc être rendue aussi petite qu'on veut par le choix de M, M'. Soit donc

<!;(M)=çp(M) — aoî(a — a)— poC(w — 6) — ... — ToÇ(w — t),

nous avons

Les trois premiers termes C-|-T|-f-T forment ensemble un binôme du premier degré en w, Pw -f- Q, dont l'analyse précédente ne laisse pas aisément apercevoir la forme limite. Mais, supposant N et N' infinis, nous avons pour s, s', ei des quantités infiniment petites ; le premier membre a pour limite la fonction