CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Donc Pw4-Q a aussi une limite finie, quel que soit u; donc P et Q ont des limites finies. Ainsi notre analyse conduit à ce résultat que ^{u) se réduit à un binôme du premier degré en u. Il reste à établir que P est nul. C'est à quoi l'on parvient en observant la double périodicité de ^(w). En effet, de l'égalité

V(M) = Pa-t-Q, on déduit

V(u-4-2ti>) — ^''(w) = 2P(i) = — ^(ao-i- ?o-+---»-^-T^o)^» V( M -H 2(i>') — ^r(M) = 2P(i>' = — 2(ao-+- ?o-+-. . .-H t:o)7i'.

Si donc on veut bien admettre comme établi que l'on n'a pas r,(i>' — Ti'co = G, il en résulte nécessairement P = o, et l'on trouve en même temps que la somme des résidus est égale à zéro. Quoique la relation précise

TO) — Ti (1) =

ne soit pas encore établie dans l'analyse actuelle (ce que nous ferons d'ailleurs au Chapitre suivant), on peut cependant reconnaître sans nouveau calcul que (t^ci)' — t^'w) est la moitié d'un multiple impair de iir, et, par conséquent, n'est pas nul. Nous avons, en effet, en partant de la définition actuelle de du, prouvé (équation 19) l'égalité

( 28 ) — ^^ ^ = — e*nt«*+û)i

qui est vraie toutes les fois que c5 n'est pas une période. Nous avons donc successivement

C ( w -+- 2 ti)' -+- 2 o) ) ,^, , ,• ,

c'a de là, en multipliant membre à membre,

g^(M-f-2(o -f-2a)) ^ ^j(Yi+Tî')(u+aM-û)'; >< ^ilTîCrt'-Yj'a» S'a

D'autre part, les relations

î(a -4- 2(0) = Çw H- 2Ti, Ç(m -f-2(o') = ;</ H- 2t/

conduisent à celle-ci

d'où Ton voit qu'avec aw == 2w -f- aw', on a aussi 2x4 = ar, -h 2r/. Comme (co -+- w') n'est pas une période (co et (o' ayant leur rapport imaginaire), l'égalité (29), comparée à la précédente (28), exige qu'on ait

(3o) eî<^<^'-tJ'«) = -,, T,w'— 7)'w= ^^L±'.t-7:.

Nous avons donc prouvé par une analyse directe que tout produit de fonctions <3', tel que ^{u), est décomposable en une somme d'éléments simples : une constante, et des fonctions Ç. Les infinis de la fonction sont supposés différents entre eux, c'est-à-dire tous simples. On peut de là passer aux autres cas, comme on Ta déjà fait au Chapitre VII pour une question analogue. Mais notre objet est uniquement ici de conclure la formule fondamentale (22), et c'est ce que nous ferons ainsi : prenons

les résidus sont liz c , et la constante se détermine par la condition ^{v) = o. On a donc

Divisons les deux membres par d{'2a), et faisons « = o. La quantité

se présente sous la forme -• En prenant le rapport des dérivées, on a pour la limite