CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

De même à l'égard des deux autres termes, où u est remplacé par v\ donc

tfCa-f-p) (j(u — v)

C'est la formule (22), que nous voulions établir.

On ne manquera pas d'observer la grande portée de la démonstration qui vient d'être exposée. En prenant pourpoint de départ les définitions (20), nous avons immédiatement trouvé le théorème général de la décomposition en éléments simples pour les produits doublement périodiques composés avec les fonctions <^. De là se conclurait immédiatement la décomposition des fonctions rationnelles depw et p'u en produits de fonctions rf, et toute la substance du Chapitre VII.

Équivalence des périodes.

La définition des fonctions elliptiques par les formules (ao) conduit à la notion d'équivalence des périodes, plus immédiatement encore et plus clairement que la théorie des séries 2r. Les périodes primitives 20), 20)' se trouvent caractérisées, en effet, dans les formules (20) de cette unique manière: ce sont deux quantités telles que, si l'on pose

(i; = 2/10) -f-an'o)', , j = o, rti, zt: 2, ..., ±30,

l'ensemble des quantités w reproduise, dans un ordre quelconque, l'ensemble des quantités analogues, figurant dans les formules (20). U est dès lors évident que 2â> et 2 û' sont deux périodes primitives si l'on a en même temps

w = ao) -+- 6o>', o) = atî) -+- pu',

a, 6, a', 6', a, p, a', P' étant des nombres entiers. C'est ce qu'on exprime en d'autres termes par les égalités

-, , ,, a6— 6a==bi.

De plus, comme il n'y a aucune distinction entre w et w', on peut supposer, sans restreindre la généralité,

ab' — 6a'=-hi;

car il suffit, pour changer le signe du déterminant, d'intervertir cô et GJ ou bien eu et co'. Cette dernière convention apparaît ici comme ayant pour seul objet de laisser inaltérée la quantité (t^o)' — t/co) quand on change les périodes primitives ; car on a

mais la suite de l'analyse actuelle, qui doit nous ramener aux séries 2r, présentera cette convention sous son véritable jour.

Expression de a'iu, s'su, <^zu en produits à doubles indices. Reprenons la formule (i8) en l'écrivant ainsi

(fa j \ • /

Nous y retrouvons, au premier membre, cette même fonction de u dont nous avons appris à former le développement suivant les puissances ascendantes de u (VII, 48). Celte fonction est maintenant développée en produit à double indice /(w, a).

Supposant, en particulier, pour a, une demi-période Wa, nous avons, au premier membre, rfaW. Voici donc le développement en produit :

wgi= 2/ito-t- 2/i'to'-h(D3i, r = o, dri, di2, .... ih X.