CHAPITRE III. — DISCRIMRVANTS NÉGATIFS

par la condition que la partie réelle soit positive. En élevant au carré, on a

et, puisque P est positif, gr a le même signe que p. C'est ce que nous venons de mettre en évidence dans (19). Achevons maintenant de fixer b et c, en prenant

c= p'\- iq, b = zi(p — iq), e = iiii.

Soit maintenant

pa = «j-f- ibc — 6% — £(/>'-r- q^)*

On voit que pu est réel. Sie=:= — i,p« est supérieur à ^2; il y a donc des arguments réels u. Soit un de ces arguments; il donne lieu, comme on Ta vu au Chapitre II, et comme on le retrouve immédiatement, à Tégalité

d'où résulte que -^ est une des valeurs de u ; donc

Soit maintenant e = 4- i; pw est moindre que e,; il y correspond un argument purement imaginaire, et l'on a de même la conséquence

(•11) P-f^Ci—p^—q^,

En répétant le calcul fait au Chapitre II, on a en même temps

liip'a = iibc{c -\- ib) = — 2e(/?*-i- q^)[p -^ iq — £(/? — iq)],

quantité réelle ou purement imaginaire, comme il convient, suivant que s = — I ou 4- I .

Quant au signe à choisir, il résulte de ce quep'~et - p' —

doivent être négatifs. On a donc

(2a) p'îï! ^4^(^«+y.),

De là résulte

tOj (1)1 , . .^ Wj (I)'-

Et, diaprés le théorème d'addition,

Wj-t-O), CDj 0)., I 1 "^ 2 2

2 2 2 4 \ wj 0),

Ainsi, suivant la notation (18), nous trouvons

(24) PW3=^8,

et pour les quantités conjuguées, sans qu'il soit besoin de recommencer le calcul,

(a5) po), = c,.

Infinis de la fonction pu.

En supposant w -= a + la, on a, d'après la formule d'addition qui sert de définition,

p^- a(papta — {^a)(pfl-i-pta) — ^3— p'qp'^'g.

Les quantités pa, p^a, p'a sont réelles, p'ia est purement imaginaire. Comme a est réel, pa est supérieur à ej, et pia, de même, est inférieur à ej.

Dans le cas du discriminant positif, on a vu, par l'emploi de la même formule, que pu est infini dans le cas seulement où pa et pix sont infinis tous deux. Ici encore pu est infini dans ce cas, et l'on a ainsi des infinis de la forme

M — amu)j-4- 2m'u)'|.