CHAPITRE m. — DISCRIMINANTS N'ÉGATIPS
Maisy maintenant, il y en a d'autres. En effet, dans le cas du discriminant positif, j3 a avait Ci pour limite inférieure, pix avait Cz pour limite supérieure; ces deux limites étaient séparées par un intervalle infranchissable, en sorte que pa — pîoL ne pouvait être nul. Ici, au contraire, les limites, inférieure pour pa, supérieure pour pta, coïncident. Donc pu est infini encore dans le cas
Alors
par suite.
a = (a/n-f- i)(i)2, ta = (2m'-f-i)u)',
u = (2/n -i- i)a)j-T- (a/n' -r- i)(d'j. Donc les infinis de pu sont
ou m ET m' SONT DE MEME PARITÉ; ccci, par l'introduction de cuj cl
(U3, peut s'écrire
u = amicoi-T- 2/n3U)3,
et l'analogie avec le cas du discriminant positif est ainsi rétablie.
On déduit de là, comme pour le cas précédent, que les valeurs
de u satisfaisant à l'équation pu^^ps^ sont toutes comprises
dans la forme
u=dzp-t- a/WiCDi-t- a ma (1)3.
Il a été prouvé, dans un précédent paragraphe de ce Chapitre, que u^pu ^ l'unité pour limite quand pu converge vers zéro par des valeurs réelles. On peut vérifier qu'il en est de même quand u converge vers zéro par des valeurs quelconques. A cet effet, prenons la formule d'addition sous la forme (I, 23)
a(pM pv — |^5)(P w -4- pp) — /T.! -4- p'w p'r p(a — 1^)=
et supposons w = i^ -f- 5, z étant infiniment petit. La partie principale du numérateur est
et celle du dénominateur est iz^ p^^{^, La partie principale du second membre est ainsi -z ? et Ton a bien
lim(-««p-«)x=o = i-
On en conclut immédiatement aussi
(26) liin(a — amiODi — 2/n3(i)j)*pu = I, pour u = 2miU)|-h a/nscos.
La fonction p u passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires.
Cette proposition s'établit ici par la même analyse exactement que dans le cas où le discriminant est positif (Chap. II, p. 40- ^^ conclusion résulte de ce que la résolvante en a: a des racines réelles.
Il y a cependant une légère modification dans la remarque placée (p. 4^) à la suite de la solution. La résolvante n'a plus ses quatre racines réelles, mais deux réelles et deux imaginaires conjuguées. Ces racines correspondent aux quatre couples d'arguments
a — a. b — ip,
a -- a -f- Wj, b = ifj — Wj,
a = a ~a)|, 6 -^ «p — Wi,
a — a r- wj, b = i^ — 0)3.
On se rendra parfaitement compte de ces circonstances si Ton observe ce fait : en considérant a, 6, A, B, A', B' comme des quantités quelconques, réelles ou imaginaires, on obtient par l'analyse employée (p. 4i) la solution du problème suivant : Etant donnés
trouver pa, p'a^ pb, p'b. Ce problème n'est autre que celui de la division de l'argument par 2, posé d'une manière particulière. Le degré de la résolvante sera expliqué Chap. IV.
Variation des périodes avec les invariants. Rapport des périodes (^).
La demi-période réelle (Oj et la demi-période purement imaginaire (u^ ont pour définition les deux intégrales
fdx — —
dx
g\x-^ gz
(') Ce paragraphe et les suivants peuvent élre omis dans une étude sommaire.
