CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. 4oi

une lettre, savoir

( qo^n(i-ç^p) =(,--^î)(i^yfc)(,-^«)...,

Entre les trois derniers existe une relation très remarquable et très simple.

Si Ton désigne Q3 par cp(y)

?(5') = ('-^)(i-5'»)(i-^*)...(i-Ç*''-»)..., on a

QîQ3 = (i-^»)(i-^«)(i-7»«)... = ?(5'«), (•i4) ?(7)?(— <7) = ?(Ç*).

D'autre part, en distinguant dans Qi les facteurs où les exposants de q^ sont impairs, puis ceux où ces exposants sont pairs et non divisibles par 4; et ainsi de suite, on peut écrire

Par conséquent, en employant successivement la relation (24) où l'on cbange q en y^, en g*, etc., on a

Comme ^'^ a pour limite zéro quand n est infini, il résulte de là

(^5) QiQiQs = i.

L'égalité (21) nous donne

puis l'égalité (ao)

--r/w^ 201 c* Qî

enfin l'égalité (i8) conduit maintenant à celle-ci :

(.66) U'=tf«o'r^'"=î^-L-,^.

" agi ^'

De là nous concluons, d'après les formules (VI, 49)) les trois quantités y/ca — es) simplifiées au moj'en de (26 ),

/ -^ U' Tc QIQî it „,^,

Vei e,- e y^, - ^.^ q,q. - ,o> ^»*^»- En extrayant les racines carrées, nous en déduisons

{28) I V'iP^=t/;;^2^7QîQ„

t/^T^TTI = y/^ QI Q,.

Ces calculs sont tout à fait analogues à ceux du Chapitre VIII (44i 45, 46), et sur les racines quatrièmes des binômes (e« — 63) il y a lieu de faire la même observation qu'en l'endroit cité. Au reste, le rapprochement sera complet quand, un peu plus loin, nous reviendrons aux séries 2r. Pour le moment, nous devons conclure des relations (28) : i® l'expression du discriminant; 2** une identité

(29) V^Â= v/2 v^i — ej v^e, — esv^e, — ^3 = 4/^Qo \fq^

(30) Q5+i6^Qî = Q!.

Expression de (i^ et de pu en séries simples.

On obtient ^u el pu en prenant les dérivées logarithmiques du produit infini du^ sous une quelconque des formes (22). Aucune