CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. 4o

démonstration n'est exigible. pour la légitimité de cette opération. En effet, dans le Chapitre précédent, on a prouvé rigoureusement que cette opération, faite sur le produit à double indice, conduit aux développements de ^u et pu en série à double indice. En opérant sur ces derniers les mêmes groupements de termes qu'on vient de faire sur le produit d'où ils dérivent, on obtiendra pour résultat des séries qui dériveront de même du produit transformé.

Cette observation s'applique aussi aux produits qui représentent les fonctions rfa» Comme les développements dont il s'agit sont de peu d'usage et, de plus, se calculent sans aucune difficulté, il suffira de consigner ici, à titre de spécimen, une de leurs formes : les égalités suivantes sont déduites de la troisième équation (22) et de la troisième (17).

lu = 1 COt 1 >

. TZU

TZU m l — 2g"^ COS h fl^*'»

v/ fx , 7)14 27r v^

. TZU

ûT» sm —

TZU

^ q^{i-h q^'^) cos 2q^^

' ,1 (1 — 2 5r«cos h q^" j

wt- — — la^axJa ••••

Expression de t^co et des racines e» en séries simples*

Le calcul de (^iU nous a conduit à l'égalité (6), qui, à cause de la valeur (i3) de a, s'écrit ainsi

4o4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

C'est en composanlle facteur de t/^, dans rcxponentîelle qui multiplie (^2> qiie nous avons trouvé cette formule. En faisant le calcul direct pour les autres d, nous trouverions de même trois autres égalités analogues. Mais, a posteriori, nous pouvons obtenir ces égalités et retrouver la précédente par le moyen des formules (3i) et (32). Dabord, par la seconde formule (3i), en nous rappelant

que Ipu j) est nul avec a, nous obtenons

(33) ^'^= M^'-*'^*2(r=^^«p)«' /? = i,a,3,...,x. Dans cette même formule (3i), si Ton fait u =r co, on a

(34) r.o) = — gi fa)«-i- i^^-^ ^^'^ / 1 ^^»mi ' y> = i,2,3, ...,x.

Puis, dans la seconde formule (3:>.), supposons successivement u = (I) et a = o, nous aurons deux relations analogues à (34); la première sera justement celle que nous avions obtenue d'abord directement :

(35) r^^^^e.i^^-^-'iiz^^^^^l:,-,

(36) Vo=-^.co«~s^^'2(7^1=iy,'

ff ^ 1^7. }j) •••1 X,

Comme C| 4- ^2-f- <?3 est nul, il résulte de là l'identité

(3;) • ^{l-i-qP)^ ^(i — (7«P-i)« ^(i — q^Py'

En outre, si Ton retranche membre à membre les égalités (33), (34), (35), (36) deux à deux, on obtient de nouvelles expressions pour les six quantités Cg^ et (c» — ep). Ces expressions, comparées à celles qu'on a déjà obtenues, donnent lieu à des identités dont nous reconnaîtrons l'importance dans les applications à la théorie des nombres.