CHAPITRE Xn. — DÉVELOPPEMENTS ES PRODUITS SIMPLES. 4o

Les séries ^^ déduites des développements en produits.

Parmi les cinq formes adoptées précédemment pour les produits ^a, il en est une où Ton a introduit une variable >3, au lieu de l'argument il, et les facteurs sont alors algébriques par rapport à cette variable. Il est naturel de chercher à en conclure des développements suivant les puissances de z, et on peut le tenter de deux

manières. Comme les produits s'offrent sous la forme F(-3) F( -j>

on peut vouloir développer F(z) suivant les puissances ascendantes de 2 ; ce mode de développement offre de l'intérêt, mais nous n'en parlerons pas : il n'a jusqu'à présent aucune importance. La seconde manière consiste à développer le produit, comme un poljnôme réciproque, suivant les quantités {zP-\- z~P): c'est par là que nous retrouverons les séries 3.

Nous allons opérer sur le développement de (^i, par conséquent sur le produit qu'offre la quatrième formule (19). Pour y arriver, nous considérerons d'abord le polynôme limité suivant :

Il est composé de ( 2 |JL -4- i) facteurs, et évidemment réciproque,

c'est-à-dire ne change point par le changement de ;; en -• Il est

impair; son développement ne contiendra que des puissances de z à exposants impairs, dont les extrêmes seront ± (2[x -H 1).

La propriété vraiment caractéristique de ce polynôme consiste en ceci : si l'on y change z en qz^ les facteurs s'échangent les uns dans les autres; cSiT(qPz -i- q~P z^*) deyienl(q^P^^^ z + q^^P^^^ z~*), La modification porte seulement sur les facteurs extrêmes, en sorte qu'on a

(38 a) (q-V-z -^ qV-z-^) ^{qz) = (qV--^^ z -h q-^V-^^^ z-^)^{js).

Si donc on suppose ^(z) développé sous la forme

4o6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

les coefficients se déterminent immédiatement par l'équation ré-

currente

Av-i = ^r-îv :,..,, Av.

-JV-hl

D'ailleurs, le terme contenant la plus haute puissance de z est le produit de toutes les quantités qP z^ c'est-à-dire ^^t*"*"'. Donc A|x est égal à l'unité, et l'on a successivement

Mettant maintenant les termes suivant l'ordre croissant des indices, on a le développement cherché, où nous représentons par une seule lettre C le premier coefficient

Dès lors que q est, en valeur absolue, inférieur à l'unité, ce polynôme ^(-z), pour [x infini, converge vers la somme de la série

L /7V(V-»-l) / ^ÎV-t-1 | ] 4

La démonstration en est évidente, semblable à celles que nous avons employées plusieurs fois déjà; elle se fonde sur deux faits : 1*" tout terme de rang déterminé, dans ^(z), a pour limite le terme de même rang de ^i (z); 2° les termes dont les rangs, dans