CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES

^{^)f croissent indéfiniment avec [x, forment une somme infiniment petite.

Réunissons dans l'expression primitive (38) de 'f{z) les deux facteurs qui répondent à deux valeurs de p égales et de signes opposés, et écrivons

(qPz-^ q-Pz-^){q-P z -^ qPz-^) = q-*P{i -^ q^P z^)(i '^- q^P z-*).

Il résulte de là

<p(z) = q-*^P{z -T- ^-*)n(i -+- q*Pz^)U(i -+- q^Pz-*),

ou bien, comme 2 2/> est égal à [x(|jl -f- i),

C^(z) = (w H- ^-»)n(n- q^Pz^)U{i'hq^Pz-*).

Quand on suppose [x infini, le numérateur de C devient égal à Tunité; nous avons donc

(z -+■ z-i ) n(i -+- q*Pz^)U(i -+- q^Pz"^) n(i — q^P) = *i( -«),

jO = I , 2, 3, . . . , oc.

Si l'on multiplie ^« (z) par q* et qu'on pose, en outre,

ou retrouve alors la série STji' (VIII, 22)

Î' 1 1 » 3rj(; = q^ ^i(z)= iq^ coscit -^^q C09 3pit-+- . . . J-(îp+i)« H- 2^* COS(2jO -h OfTt-i-

Mettant, de même, i^ au lieu de 2 dans le produit et réunissant les termes deux à deux, nous obtenons

( io) 3r,p = 2^* cosi^it I I (i-h 2 5r'»cos2i'it-i-y*'») I 1 (i — q"*)f

4o8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

A cette relation se joint la suivante, où intervient di v défini par Tégalité

Il i

3r, (> = 3r,(î — v) = 2q^ sinvTz — a^r* sinSi'Tt-f- . . . -h( — \)P'Xq* S\Ti(ip-\-\)VT.y

(42) STjp = 2^* sinPTc I I (i — 2^'"C0S2(>'7r -+- ^r*"*) I |(i—^'"),

m = 2,4, •••j^fji, ...-i-oc.

On peut passer de 3| ou Sa à Sa et Sr© par un changement de l'argument v, comme on Ta fait au Chapitre VIII. On peut aussi reproduire l'analyse précédente pour développer le produit qui figure dans l'expression (10) de d^u. C'est ce que nous allons faire en quelques mots.

Prenons le polynôme limité

dans lequel p acquerra maintenant les valeurs

/> —IJZï, Ztï, ... =t

Ce polynôme, comme le précédent, est réciproque; mais il est pair et de degré 2[x. Au lieu de la relation (38 a), il vérifie cette autre analogue

/ ipL— 1 t]k—i \ / «{JL-»-l «pi -4-1 \

\q « ^-^q'~^^-^)^{qz)=\q « z '\- q ~^^V<K-3),

et l'on a, pour déterminer les coefficients, la relation suivante :

îv

»v-. = g-"''-','ffv^.Bv, B^=.

En posant alors