CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. 4o

on obtient ce développement

Nous concluons alors que, [x devenant infini, ^ {z) a pour limite la somme de la série

Enfin, par la transformation des facteurs de ^(5), déjà faite pour ceux de <f (5), on conclut

(43) STaP = i-h iq cos2i'7t -f- 2^* cos4t''ïr -+-,.. H- 2q^* cos avpTt -*-. . ,

(44) ^jç = rT(i -♦- 2<7« cosai'-Tt -1- q^" )TT(' — V"")»

En dernier lieu, le changement de i^ en (ç + 7) donne

(4'3) ^oV= I — 2^ cosaP7t-+- 2^* cosivi: -h. . .-!-(— i)^27^'cos2vp7t-H. . .,

(46) 2roi^ = jrT(i— 2^«cos2Pi:-i- <7*«) rT(i — <7"*).

/l = l,3, ...,(2{Jl-4-l), ...,

Si nous donnons à i' la valeur zéro, dans les expressions de STq, Sa» 3^3 en produits, nous retrouvons les produits infinis désignés par les lettres Q(23) :

(47) 2ro=Q|Qo, 2r,= 2^^QfQo, 2r3=Q|Qo, {v = o).

Ces formules rendent manifeste la coïncidence des expressions (28), obtenues dans le présent Chapitre pour vca — ^p, • . .j avec

4lO PRBMIÈBE PARTIE. — THÉORIE.

celles qu'on a obtenues précédemment (VIII, 46). Enfin la formule (4>-) donne immédiatement pour r = o

(48) âr, =2ir7^Q3, (v^ = o).

On voit par là que l'identité Qi Q2Q3= i coïncide avec l'identité (43) du Chapitre VIII, de même aussi que l'identité (3o) du Chapitre actuel coïncide avec l'identité (4i, a) du Chapitre VIII.