DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Développement des fonctions doublement périodiques de seconde espèce. — Autre développement des fonctions de seconde espèce. — Troisième développement des fonctions de seconde espèce. — Développements de ^u, de ^{u-{-iù'),depUf

p' Uj etc. — Sur la racine réelle de l'équation STj (J-, i'v/jr) = o. — Développement de lo^ru et de log r^w. — Développement des douze quotients aTg^uiar^u. — Développement des inverses des fonctions r. — Développements à convergence rapide pour les fonctions de seconde espèce. ^— Développement des inverses des produits formés avec deux fonctions 3'. — Développement des racines

e^ et des invariants. — Développement des quantités ^e^, — e»» etc.

Développement des fonctions doublement périodiques

de seconde espèce*

Nous avons déjà parlé plusieurs fois des fonctions de seconde espèce, qui ont une très grande importance, et pour la théorie et pour les applications. Leur définition a été donnée au Chapitre VIT. Elles ont pour type général

Prenons ici pour la constante p une valeur particulière

Posant alors

iizn

«Iti

et employant la quatrième expression (XII, 22) de la fonction d

en produit, nous aurons

w^ - ^ zt — z-i t-i -|-T (i — 7^")(i — ç'^zU^)YW(^— <!"' )(' — 9^4?~«/-»)

fil' — ~ ij .{) •••} j? j*^ • • • j i jC.

Considérons, d'autre part, la fraction limitée suivante

irÇi — a^*)II(i — g«a"j)

dans laquelle, pour former les divers facteurs des produits, on donne à n les valeurs

c'est-à-dire celle des entiers successifs de — a à -h jjl inclusivement, sauf toutefois pour le produit II' où l'on ne donne pas à n la valeur zéro.

Nous allons d'abord reconnaître que cette fraction (i), si l'on y fait croître [x au delà de toute limite, ne diffère pas de la précédente. En effet, si l'on y sépare d'abord les facteurs répondant à n = o, et qu'on y mette en évidence ceux où n est négatif et égal à — n', on pourra l'écrire ainsi

I ' • '-^^ (i — J'){i— /)ll(i — a«:F)(i— a«^)ll(i— a-«';r)(i— a-«'v) ( 'ji ) < "^

i \—Ty rw {\ — i'^){\ — '3i'* xy) -w-w {i — n^'){\~ ol'*' ar-^yi )

\ ~~ (i — a;)(i— j)lJL(i— a'»j^)(i— a«j')lJL(i--a«'x-i;(i — a«y-i)'

et les nombres n, n! seront les entiers positifs i, 2, . . . , |jl. Si maintenant on suppose

(3) a = ^*, x = z^, 7 = /^ on a évidemment

(4) iim?(^, J) = — V^/(w)-

En faisant donc subir une transformation quelconque à 'f (^,^v) et prenant la limite de la formule obtenue, nous aurons obtenu une transformation de /(u).

Nous allons, pour ce but, décomposer 'f (^,^) en fractions simples par rapport à la variable j^.