CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS. ^li

Il existe d'abord un terme C indépendant dey^ savoir

^^ ' ^ II(i — a«x)

En second lieu, la fraction dont le dénominateur est (i — y) a pour numérateur

n'(i — a«)n(i — oL»x)

En troisième lieu, la fraction dont le dénominateur est (i — oCy) a pour numérateur

Nous y désignons, au dénominateur, par II' le produit des facteurs indiqués, en évitant seulement celui qui serait nul (n = v). Prenons d'abord v positif; supprimant les facteurs communs aux deux termes de Ay, nous aurons

^ ^ ^ ■" I — a\*-x 7— olV-'^x " * I — at*-v+i a? i — ar\^~^' i — ol'V-* ' ' ' ^i — a-Ji^-v

C'est le numérateur de la fraction

Ay ^ ^

Enfin le numérateur By de la fraction

1 — «-^^ ne dilTère de Ay que par le changement de ^ en -, comme il résulte de la forme (2) donnée plus haut à ^{^yj')', car ^(Ji^^j) se reproduit, sauf le signe, par le changement de x, ^^ en -? -• Nous avons ainsi déterminé tous les coefficients de la formule

Modifiant un peu la forme extérieure du second membre, nous l'écrirons

(6) 0(37. v) = C-i-i-+-2AyH — -^ \ V — Z, — V— ?'

^ / » ^ / / ï 21 — ^ .^d I — ayy ^^ I — ^y^^

4l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Nous allons maintenant examiner ce que devient le second membre, quand [x devient infini.

En supposant d^abord, pour v, un nombre fixe, et a étant, en valeur absolue, moindre que l'unité, on voit immédiatement que Av converge vers x"* : car les facteurs du premier groupe, au second membre de l'expression (5), convergent individuellement vers Tunité, et ceux du second groupe vers x. L'expression limite de Ava^ est donc a^o:^, et l'on est conduit à faire l'hypothèse que la valeur absolue de olx soit inférieure à V unité. Moyennant cette hypothèse, la série illimitée

^ 1 — r/yy

est convergente. Chacun de ses termes, de rang déterminé, est la limite du terme occupant le même rang dans la suite limitée

Aà I — ayy

D'autre part, en écrivant Ay sous la forme (5) modifiée ainsi

on voit que le quotient Av : x^ est composé par le produit de facteurs appartenant aux trois produits illimités suivants, tous absolument convergents,

fj(i-a«), J][(i-a''a;), Jj(,^:);

donc Av:^'^ est limité, en valeur absolue, et la somme des termes qui, dans S', correspondent à des valeurs de v supérieures à un nombre donné N, est comparable à la somme des termes correspondants dans la série S. Elle est donc, par le choix de N, aussi petite que l'on veut. Donc la limite de S' est égale à la somme de la série S.

La dernière somme, au second membre de l'expression (6) de