CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

cp(a', y)y diffère de la précédente par le changement de j:,^ en -

et - • On doit donc faire maintenant la supposition que la Dateur

absolue de - soit inférieure à V unité. Cette somme a, dans ces conditions, pour limite celle de la série

*"" ^ I — 7yy-^ '

La double hypothèse faite précédemment s'exprime par les inégalités

Par cette notation |jr|, assez usitée depuis quelques années, on entend Isl valeur absolue (module) de la quantité x placée entre les deux traits.

Il nous reste à trouver la limite de C H- SAv Pour ce but, nous supposerons d'abord |:c|<:;i, hypothèse compatible avec celles qu'on a déjà faites (7), et que nous ferons ensuite disparaître. L'expression de C étant écrite ainsi

x«{*-^* TTT I — a** TX I — a" C = Il I I 7 : /i = 1 , 2. . . . , ;x,

on voit que G converge vers zéro. En même temps, par les raisons invoquées tout à l'heure pour S', on voit que S Ay converge vers la somme de la progression

Donc

lim(GH-i-4-2Av)=--f- — - =1 '"tf.

{JL=«)^ ' ^ 2 l^ X '2 i X

V = «o V = flO

(S) iiin©(x, y) = 1 ^ H- > — h > -^ — :

Cette formule est prouvée sous le bénéfice de l'hypothèse

(lo)

Mais, comme cp reste inaltéré, sauf le signe, par le changement

de Xj y en - y -> et qu'il en est autant du second membre (8), la X y

formule se trouve aussi prouvée pour le cas

c'est-à-dire

ai

En résumé, la généralité de la formule (8) est établie sous la seule hypothèse (7). Si nous remettons maintenant pour a, ar, y les quantités (3), nous avons, d'après l'égalité (4),

C'est ce qu'on peut écrire encore sous la forme suivante :

cot h col H 4 > I

20) 20) -^d . TTl' I

1 I — 25r*«cos h^*" I

La condition relative à la grandeur de z s'exprime, comme il suit, pour l'argument u. En désignant par K(x) la partie réellr d'une quantité complexe quelconque jr, c'est-à-dire