CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUKS. ^i

et la condilion ci-dessus se traduit par cette autre

(..) ,R(4î:)<R(ii)<.R(^).

\*a)/ \iw/ \tci)/

Dans ces limites (i i), la formule (lo) est exacte.

On ne peut manquer d'observer le fait suivant : la fonction qu'on vient de développer ainsi est symétrique par rapport à n et ç, tandis que les développements ne présentent pas cette symétrie. Il est donc désirable de transformer les seconds membres, pour mettre la symétrie en évidence. Mais il est manifeste qu'alors il faut faire, surt', la même hypothèse que sur u. Nous allons donc supposer maintenant

I^KMK

Si nous développons, suivant les puissances ascendantes de /, la fraction

^ — - = <7J/i^J«<J(i-t-ûr«/'/ï-hûr*« /*-}-...),

ce développement est convergent d'après l'hypothèse, et son terme général est gr2/im^2/i^2m^ où /i et m sont deux entiers, au moins égaux à -}- i . Chaque terme de Tavant-dernière somme dans la formule (9) donne lieu à un développement analogue ; de même

aussi, sauf changement de 5 et ^ en - et - , chaque terme de la dernière somme donne un développement analogue et convergent d'après l'hypothèse. Il est, pour ainsi dire, évident dès lors que la formule (9) se change en cette autre

(iu^v (olîi-s — -5-* 1 t — tr^

nx

Pour établir ce fait en toute rigueur, il suffît d'observer que la I. 27

4l8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

série, à double indice, ainsi obtenue, est absolument convergente. On a donc le droit, sans en altérer la somme, de grouper les termes arbitrairement : si Tony réunit tous les termes où 3 est affecté d^m même exposant, on retrouve précisément la formule (9).

Cette dernière égalité (12), si l'on introduit, au second membre, les arguments ;/, (^, acquiert la forme élégante

Y) Mi»

( cot h cot )

(*3) { = — 7 ûr«'»'»sin — (nt'H- ma),

valable sous les condilions

Si l'on introduit, au lieu de (^, la fonction Sr,, et qu'on remplace — , — par w, V. la formule (i3) s'écrit alors sous la forme

' — î 5: =7 î-^— ^ — ir(cOt-i^-h COtTTI/)

= 4*^ ^ ^ï/wrt gin 27:(/iP -h ma),

En parliculier, le développement (i5) est valable pour toutes les valeurs réelles de // et r.

On doit remarquer que les limites imposées aux variables u et i' dans CCS développements ne s'opposent pas à ce que ces développements puissent cependant servir au calcul numérique dans tous les cas. Ceci résulte de la propriété que possède la fonction de se reproduire, multipliée par une constante, quand on ajoute une période à Tun de ses arguments.