CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

Si, dans la seconde, on change x en{x — 2^2), on obtient cette expression

Pour reconnaître cette forme du polynôme sous le radical, on n'a qu'à tenir compte de la relation ^e\ — ^2^2 — 5^3 = o î car on a identiquement

4 ( r — 2^2)' — ^j(a7 — 2e,) -{- ffi

=. 4ar3 — ^,ar — ^3— 24ej(a: — es)î — 2(4e; — ^,e, — ^a).

Des expressions (27) et (28) résulte immédiatement la consé-

quence suivante : le rapport -r-^ est supérieur, égal ou inférieur à

l'unité suivant que 62 est positif, nul ou négatif, suivant aussi, en d'autres termes, que g^ est positif, nul ou négatif.

Voici encore une autre conséquence immédiate. Supposons d'abord e^ ]> o, et admettons que le discriminant, toujours négatif, converge vers zéro. Les deux racines conjuguées e^ et e^

convergent vers -> Comme cette quantité, d'après l'hypothèse

^2 > o, est en dehors des limites ^2 et -j- 00 , (U2 conserve une valeur finie. Mais les racines — ei et — 63 du polynôme soumis au radical dans la première expression de -4 convergent vers — '> qui est

dans les limites de l'intégration; par suite, -^ devient infini.

Les mêmes faits se passent en ordre inverse quand 62 est négatif. Donc :

1° Quand g^ est positif et que -^-^ décroît de 4- i à — 00 ,

T-^ varie de 4- c» à -j- 1, sans que nous sachions encore si cette variation a lieu par continuel décroissement;

2** Quand gz est négatif et que -^^ décroît de + 1 à — oc ,

.- - varie de zéro à -|- i , sans que nous sachions non plus si cette

variation a lieu par accroissement continuel.

Pour faire disparaître cette lacune, mettons en évidence la racine

8o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

^2» en écrivant

Changeons maintenant, dans (27) et (28), x en 62^, et faisons la supposition €2 > o. Nous aurons alors

/- /*• dx

/ ^a:(a?»-i)+^(a:-i)-6(x-i)« Soient ^ ± i'^ les deux racines imaginaires «i, 63. On a

La quantité ■— peut donc prendre toutes les valeurs depuis \-

jusqu'à + 00 . Quand elle croît ainsi, les deux intégrales définies décroissent toutes deux; mais le décroissement relatif est moindre

pour la première que pour la seconde, en sorte que -r-^ décroît.

Pour prouver ce fait important, faisons, dans les dernières intégrales, le changement de variable*

La substitution directe donne pour résultat

/- V r^ do

J ^ v/2(2-+-Y)-i-3v/2 4-Y-i-[2(2-i-Y) — 3/2-hY]cos*ç

2(2-1-7) — 3/2 4-Y-T"[^(^-^T)-^3/2-i-Y]cos*^ La première peut s'écrire

/ — 2 /•* do