I - I -devra être compris entre \q^ et

La plus intéressante des formules qu'on obtienne ainsi résulte

du changement simultané de z'^ et t^ en qz^ et qt^ dans la série

(12). D'après le développement (16), employé pour t comme pour

;;, on a d'abord une série de termes ayant la forme

ce qu'on écrira ainsi

Par le changemen idez^elt^ en qz^etqt^j les termes q^""* z-" /-'« de la formule (12) donnent la somme suivante

zl^g ^^

(') Il faut observer que les diverses formes de développement sont dues uni- (|uement au rôle dissymclrique attribué ici aux deux périodes. Au fond, il n'existe qu'un seul développement; les autres offrent seulement des différences de forme.

4aO PREMIÈRE PARTIE. — TBÉORIE.

OÙ n et m prennent toutes les valeurs positives depuis l'unité. Celle somme, jointe à la précédente, conserve la même expression extérieure, mais /i et m peuvent alors y prendre les valeurs

Enfin les termes q^^^^z ^'^t ^'"^ fournissent la somme suivante, où n et m sonl changés en (/i -f- 1), (m + i),

zt ^q^^

et dans laquelle n el m peuvent aussi acquérir la valeur zéro. Nous avons donc

■=i, 3, 5, ..., (auL-hi), ..., -hx.

Réduisons maintenant le premier membre au moyen des égalités

a'(M-^-i^-4-2(o')= — c*V^"-^*^<*>'^ 3'( a -4- i»), a'(t'H-(u) = ^lû ^z^efï'^, a'(w-4-a)') = s'to' a'taeV'S

nous aurons, pour Texposant de e,

= (r.ta — T. w) -t-Tj O)

et, pour l'exponentielle,

Y) Mi* ITT M -f-f '-<•»' Ti//!'

e ^ eVf>V * " = e " e^'^'

On voit donc que la formule (17) peut aussi s'écrire ainsi

\ - ; ^e *^ = — > fJqnfnl :^n (m )