CHAPITRE XIII. — DÉ\'ELOPPBMBNTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. Zj^I

OU, SOUS la forme trigonométrique,

[=1, 3, 5, ..., (2UL-hi), ..., H- X.

En groupant les termes dans la série (18), soit par rapport à /i, soit par rapport à m, puis passant à la forme trigonométrique, on peut encore écrire

"~ (i> ^rf\l — ^''*-5* I — q*"z-^ J

sin — (nu ■+- v) — 7'* sin — (nu — v)

(22) =- iirJl^^

f23) =-ïi;/^*

7r(> I — 2ûr« cos — -h ûT*'»

sin — ( ms> -4- a ) — 7"» sin -^ (mp — w) 2 to ^ / ï ^ ^j V /

7tM

I — 27"* cos h <7*"*

Les lettres /i, m désignent ici tous les nombres impairs positifs. Les limites à considérer pour ^^, i^ ou z^ t sont les suivantes :

Pour |3|, 1^1, Iv/^l et 1-^1;

PourRfii),R(^),.... -k(^) et ^R^^V

Dans les séries (18) et (19) les deux arguments doivent, tous deux, satisfaire aux conditions imposées par ces limites. Dans les séries (20) et (22), l'argument u seul doit y satisfaire; dans les séries (21) et (23), c'est au contraire le seul argument v auquel ces conditions sont imposées.

Troisième développement des fonctions de seconde espèce.

Nous allons maintenant dans la série (9) changer seulement ^en tyjq^ par conséquent v en (t'+o)'). Et d'abord la fonction, qui

^22 PREMIÈRE PARTIE. — TBÉORIB.

est au premier membre, se transforme ainsi

0^ {V -\- io' ) ^ u o'aPS'M

Nous ferons disparaître le dernier facteur en multipliant le second membre par z. Effectuant cotte multiplication, laissant de

côlé le facteur —, que nous rétablirons ensuite, changeant t^ en

<//*, et modifiant la forme des deux premières fractions, nous transformerons ainsi le second membre (()) ;

Mais on a évidemment

II suit de là

sin —[(?./! — i)?/ -f- 2rl — <7*"-i sin -^(a/i — n// 2to ' ato

Sin — I — 'iq^'* ^ cos r- ûr*«->

::^ iZ? ^ V^ ^(î/l-l)//l( -2/1-1 /Î//I ^-î«+l /-»"*)

(.j(-) — — - - H ^ > 7(*'»-i''"sin— ^ [(2/1 — i)r/ + 2mi'l

"^ 2(0 . TTM W ^^ ^ 20)^^ '

sin —

sin -^(iFnv -\- u) — q^"' sin — (inw — m )

Sin — i — 27*"* cos h <7*'«