CHAPITBB XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRI60N0MÉTRIQUES

Les lettres m, n désignent ici tous les nombres naturels positifs, depuis Tunité inclusivement. Les limites pour u^ v on z^ t sont les suivantes :

Pour |-5| 1^1 et

Pour \t\ \)fq\ et

sTq PourRCii) -^^(^) et +aR('^),

PourR(-A) - ^('i\ et + r(^).

Les deux arguments doivent satisfaire, tous deux, aux conditions imposées par ces limites, dans les séries (26) et (27). Dans les autres, les conditions sont imposées à un seul argument: u^ pour les séries (24) et (a5), v pour les séries (28) et (29).

Si, dans les séries (18) à (a3), on remplace — > — paru, ^,

ou, mieux et plus simplement, si Ton remplace dans les seconds membres (o par ^, ces séries représentent alors la fonction

2rt(a-f-P)3r;(o)

Si l'on fait le même changement dans les séries (24) à (29), ces séries représentent alors

Sro(a-t-p)y,(o)

Si nous prenons maintenant chacun des trois groupes de formules (9) à (i5), (18) à (a3), (24) à (29), et que nous y changions u en i^u + tù) ou v en (t'-f-w), ou que nous fassions ces deux changements à la fois, nous aurons en tout douze groupes de formule^, dont il est tout à fait inutile décrire les seconds membres, les changements y étant évidents. Quant aux premiers membres, si on les représente par les fonctions 2r, on voit immédiatement les changements qu'ils éprouvent. Il suffit de se rappeler les

4a4 PREMIÈRE PARTIE. ^ THÉORIE.

formules (VIII, 38 A)

2ri(a-4-l)= 3r,i/, &,(M-hi)= — Stjm,

3j(a-hl)= ^qU, &3(a-f-i)= 3r,a.

Observons, en outre, que le groupe de formules (24) à (29), par réchange de u, ^, correspond en réalité à deux groupes dilTérents, en sorte qu'on peut vraiment envisager seize groupes de formules, se déduisant toutes immédiatement des précédentes. Faisant abstraction de i^ ou mieux considérant cet argument comme une constante et, au contraire, u comme une variable, nous pouvons dire que chacun des seize groupes de formules donne le dévelop-

pement d'une des seize fonctions ^^^^-^ -j les indices a, ^ recevant les valeurs o, i, 2, 3.

Pour revenir aux fonctions d, on n'a qu'à recourir ensuite aux formules du Chapitre VIII (VIII, 35, 4» ? 44)j si l'on ne préfère le calcul direct par les formules du Chapitre VI (VI, 49)» Voici un Tableau des seize fonctions. Elles y sont représentées en abrégé : la lettre a remplace (m -t- t^); la lettre d est omise, son indice seul est rappelé. Ainsi a signifie (i{u-\- i^), a^ signifie (^a('' 4- t^)? w et

Uoi signifient (iu et (^a'^î de plus l'exponenlielle e ^ , qui multiplie chaque fonction, est omise. Enfin, comme le Tableau l'indique, quelques-unes sont multipliées par des facteurs composés avec les trois quantités suivantes, qui nous sont bien connues :

TQO)

— - TQ" 0)'

La première ligne renferme les quatre fonctions déjà envisagées; la seconde celles qu'on a déduites par le changement de u en (f/H- (o); la troisième, par le changement de v en ((^ -f-to); la quatrième par ces deux changements simultanés.

CHiPITRB XIII. — DAVELOPPBMBNTS BN SÉRIES TRIGONOXÉTRIQDES. 435

a uv

tf * U" a, UU' a,P3

« * U' a, UU' Mai'i

i a U"» i/ït^,

ITT

UU' MiP,

U* UxV\

Les développements que nous venons de trouver offrent de l'intérêt dans nombre de leurs cas particuliers : nous passerons en revue les principaux de ces cas, et nous commencerons par ceux dans lesquels le second argument v est infiniment petit.

Développement de X^Uy de C(i^ + <^')9 de ^niy p'u^ etc.

Dans la formule (lo), supposons v infiniment petit; nous avons alors

[Y) MU -^ e " cot — \ = tu — -î— • ^v :jU 2(1) 2a)J to

Les autres termes de la formule (lo) ayant individuellement des limites finies, nous obtenons

(3i) Ça — -^ = — cot 1 > —^ — r- sin

' O) 20) 2(1) tO ^d 1 — <7"* (»)

On démontre avec la plus grande facilité qu'il est permis de différentier successivement les termes de cette série, pour les valeurs de u qui la rendent convergente : ce sont les mêmes que pour la formule (lo).

426 PBEMIÈRB PARTIE. — THÉORIE.

On a doDC, par différentiation,

^ sin' — ^ ^

nui:

cos ,

P'm = — ( — ) hai - ) > i-v sin

\iinj . ,TM \a)/ .^d 1 — 7*'» w

Ces développements sont valables sous la condition (i i)

On peut aussi écrire, au lieu de la formule (3i), celle-ci

Semblablement, de la formule (29), où l'on fait «/ = o, puis où Ton remplace ensuite la lettre v par la lettre w, on tire

^^ ' (0 ' (o .^ I — ûr*« (O

7IWT «/» (o

Ces développements sont valables sous la condition

\i(o/ \tw/ \iw/

On peut écrire aussi, au lieu de la première formule (34),