CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Sur la racine réelle de l'équation ^i (i» i/x) = o.

En discutant, dans le Chapitre VIII, la marche de la fonction S|, nous avons reconnu qu'il s'y présente deux cas très diflFérents quand g est une quantité purement imaginaire. La distinction de ces deux cas est fondée sur la considération des racines réelles x

de Téquation 3*4 (^i ^v^) = o, et nous avons annoncé (p. 287) que, dans le présent Chapitre, on trouverait démontrée l'existence d'une et d'une seule racine réelle, comprise entre zéro et l'unité. C'est de la série (33) que nous allons tirer cetle démonstration.

Prenant la dérivée, par rapport à u, dans les deux membres (33), faisant cnsuile u = ^, puis observant que ^^ ( j) esl nul, nous obtenons

Mettons i^ au lieu de g, remplaçons le premier membre par zéro et développons la série; nous transformons ainsi l'équation dont il s'agit (VIII, y 2) en cette autre

2j:' Sa?* 4j^* I