I — x^ 1 -+- rr» I — ar

Quand a: croît de zéro à Tunilé, chaque terme du premier membre croît constamment. Le premier membre, où tous les termes sont addilifs, croît donc constamment de zéro à l'infini ; il passe une fois et une seule par la valeur numérique du second membre. C'est ce qu'il fallait prouver.

Pour le calcul numérique de la racine x^ la forme trouvée au Chapitre VIII est plus avantageuse.

Développement de io^^u et de logo'oti/.

On peut obtenir le développement de logc^w en intégrant les deux membres de la formule (3i), ce qui n'offre aucune difficulté :

la constante d^ntégration se détermine aisément si Ton observe que le quotient des deux fonctions (iu et — ^sin — se réduit à Tunité pour w = o. On obtient de la sorte

• .^ I — cos

(36) log*«=lîii! + log(^sin!L«)H.,y 2

De même, changeant, dans (3i), ^^cn ((/ + (i>)et intégrant, on a

(37) logS'i ?/ = hlog cos H 2 > ^^ —i—

^ '^^ ^ 20) *=* 2W ^ I— ÛT*»

I — COS

Intégrant de même dans la première relation (34), nous obte nons

mzu

I — cos

(38) log*,«=^"Uay^„

° 20) Jmà I — <?*'* /l

.et aussi, après avoir changé u en (w -f- (o),

(39) log ^iU= ^- 2 7 ^^ ^— /-

/lira I — cos

Au lieu d'invoquer l'intégration des séries, nous pouvons démontrer directement ces quatre dernières formules. Pour établir la première, envisageons la série à double indice

Elle est absolument convergente sous la condition |^{<C

En effet, si l'on suppose q el z remplacés par leurs valeurs absolues et qu'on réunisse tous les termes où n a une seule et même valeur, ces termes forment une progression géométrique, dont la somme est