CHAPITRE Xllf. •— DÉTELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS

puis la série simple, où mainteDanl n varie, est convergente d'après l'hypothèse.

La série /(z) étant reconnue absolument convergente, on peut, sans changer la somme, y grouper les termes à volonté. En faisant le groupement dont il vient d'être parlé, posant

et admettant qu'on ait, non seulement |2|<Cl-

Il ^1^

g\<i\z\j on obtiendra

y mais encore

mzu •0 I — cos

Groupons maintenant les termes où, au contraire, l'indice m a une seule et même valeur. La somme est

i-h h ' h... = — Iog(i — <7*"«^*);

par conséquent

/It ^ * /n =: M

Substituant cette expression de /{z) dans l'égalité précédente (4o), nous aurons

mzu

I — cos /«=«

(i — <jr2'w)s

Diaprés la quatrième expression (XII, 22) de ^u en produit, celte égalité peut s'écrire aussi

I — cos

nT.u y\ w'

•2 > — ^ — — = locr

^^ i — 7"* n ^ 2ti) . Tzu

1 ^ — sin —

43o PRBXIÈBE PARTIE. — THÉORIE.

et c'est précisément la formule (36), qui est ainsi démontrée à nouveau, sans le secours de Tintégration. La formule (37) s'en déduit par le changement de u en (w 4- w); on peut aussi la tirer du développement (XII, 19) de ^1 u en produit. Il en est autant des deux autres (38), (Sg) qui se tirent des développements de ^^u eid^n (XII, 17 et 9).

A peine est-il besoin d'ajouter que les conditions d'existence pour les formules (36) et (37) sont encore

tandis que pour les deux autres, (38) et (39), les conditions sont différentes

C'est ce qui résulte le plus nettement du second mode de démonstration.

Développement des douze quotients ^rtui ^^u.

Les quotients formés avec les fonctions duy (^1 w, ^2"? ^3" se rencontrent fréquemment. Il est utile de consigner ici les formules qui s'y rapportent. On les obtient immédiatement, au nombre de douze, en supposant r = o dans celles des fonctions, mentionnées au Tableau (3o), où w est affecté d'un indice.

Pour abréger Técriture, nous mettrons partout la lettre a, au

lieu fie--; nous désignerons par m les nombres pairs positifs,

par n les nombres impairs.

Voici les douze formules, en suivant Tordre du Tableau (3o), In par colonnes successives. Nous ajoutons l'expression de chaque

fonction par les quantités \/pii — ^a> en nous servant pour les constantes U de leurs expressions (VT, 48 et 49), et en employant