CHAPITRE ni. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS. 8l

on a posé

Cette quantité est plus petite que l'unité, comme il résulte des données d'après lesquelles le radical ne peut jamais devenir imaginaire pour des valeurs réelles de cp. On le vériGe d'ailleurs; car la condition k]<Ci donne justement y >|- . Elle est aussi positive.

Quant à la seconde intégrale, elle s'écrit de même

on a posé

Par cette transformation, le rapport t-2. apparaît comme coïn-

cidant avec le rapport ~ des périodes au cas du discriminant positif, avec un module ky^ dont le carré k\ varie de o à ^ quand y croît de j à H- 00 . D'ailleurs k\ est toujours croissant avec y.

Dans la forme précédente, on voyait que y/ê^(U2 et y/ea ^ décroissent quand y croît; dans la forme actuelle on voit que ^ë^ V 2 -h y wa croît avec y, mais que sfë^ V 2 -}- y -^ décroît. Il

en résulte clairement que -r^ décroît quand y croît.

D'après l'égalité

4^5 — ^26,-^3 = 0, on peut écrire

'^ISl

La fonction ~- décroît continuellement de ^ à — 00 , quand

z croît de T à 4- 00 , Donc ., décroît constamment de 4- i à

, quunu que :

— 00 , quand j^ croît à partir de 7. Nous savons donc maintenant

IDj

gz étant positif et ^^i décroissant de -{- v à — x) , ~^- dé-

crott constamment rfe -h ^ à -+- i (* ).

Comme il suffit de changer g^ en — ^3 pour échanger cua et

-^y nous pouvons ajouter que «^3 e/rt/i^ négatif et -^^ décroissant de -h i à — ^o , ^ crott

27^3 *tU2

constamment de zéro à -^ i.

Cas où ^1 est nul.

Il existe ici un cas particuliçr fort remarquable qui ne se présentait pas pour un discriminant positif; c'est le cas g2== o, impossible dans l'hypothèse gl — 27^3 >> o. Les formules précédentes exigeraient des transformations pour faire reconnaître la valeur simple du rapport des périodes en ce cas. Mais on y parvient tout naturellement ainsi :

Dans la formule d'homogénéité

p(j^'y î^*^3!» î^^^aj; = ÎA* p(w; ^„ ^3),

supposons g 2^= o, et prenons alors pour [jl une racine cubique de l'unité. Soient

les racines cubiques de l'unité; faisons |jL=:a2, il vient, pour

p(aM)= atpa,

(*) On peut éviter le calcul qui précède en se référant à l'égalité

tù,

qui se trouvera déniontréc au Chapitre IX. Ici A est le discriminant négatif A = gl — 2"/ gl. Il résulte de celte égalité, g^ étant positif et supposé constant,

tù'i

que la dérivée du rapport -r-^ 9 par rapport à ^,, esfc positive; donc ce rapport est

croissant avec gj, g^ restant constant et positif. C'est ce qu'on vient de prouver par un calcul direct.