CHAPITRE XIII. — DÉN'ELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOXÉTRIQUES

Les deux séries (45) et (47) donnent ensemble la suivante : fu-=à y <7"* ,

que l'on obtient également en ajoutant membre à membre les égalités (48)et (5o). De même les deux séries (49) et (5i) donnent celle-ci

i. , V^ sin(/ii — i)a — q^'" 9>\n( m -¥- i)a fu = — à y <7'" ^^ ^^ — »

qui s'obtient aussi par l'addition des égalités (44) ^^ (4^)-

Pour avoir la série à double indice, qui seule est fondamentale, prenons, par exemple, la formule (a6), en y mettant t^= c"*, ce qui correspond à i' = — ^ii. Nous avons ainsi

et /z, m désignent maintenant les nombres naturels 1, 2, 3,

Mais cette série est susceptible de réduction si on l'envisage dans sa généralité: on peut vérifier aisément que les termes où les exposants de -:; sont pairs se détruisent deux à deux, comme l'exige la propriété (02). On doit donc donnera m seulement des valeurs paires, et reprenant la convention déjà admise ( n impair et m pair), on aura plus simplement

-n-^tn

Envisageons les termes où l'exposant de z est un nombre impair positif N. Ceux qui proviennent de .s"""* auront pour coefficient — S<7^'""^'"*. Ceux qui proviennent de 5~"+"* auront, au contraire, pour coefficient -+- Sy'^"^"'. En supposant donc

et tenant compte de ce que le changement de -z en - reproduit/w, changée de signe, on pourra écrire

(53) \fu^ — i^{—i)yq^p^p\z^ — z-^),

Telle est la forme vraiment fondamentale du développement. \ olci maintenant la plus simple des réductions en série ordinaire: on l'obtient en sommant les termes où /? a une même valeur :

jAu e^*'' I , . r// v» nP^-PK\ — n^-P\

*in — 1 I — iq-P cos — — </•/'

Jacolii. en donnant, à la fin des Fundamenta nosra^ cette série. Ta mise encore sous une autre forme, qui s'obtient par le calcul suivant :

4 <in*a '-* — acosîïa

I — 7.q-P <:os'2a -*- q^P i — iq^P cosaw -r- q*P

q^p q-Pii — *iq^P cosia -rq^P\

Eu multipliant les deux membres dans Tégalité précédente (o.f) par sin ^ * on a d'abord à mettre à part la série suivante

il reste alors

sw -" -"- qP^-P{i^ q'iP){\ — q^'Py'

I 2 (f^P COS r- q^P

Ces développements (54) et (55) méritent d'être comparés pour l'élégance à celui de la fonction 2r, elle-même; ils mettent tout aussi bien en vue les propriétés relatives à l'addition des périodes, les racines de la fonction, et ne le cèdent en rien pour la rapidité de la convergence, qui, au surplus, a évidemment lieu pour toutes les valeurs de u.

En changeant, dans (54) et (55), u en (w -|- w), on a les déve-