CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS ES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

loppements de la fonction

tin*

(56) — Vt :^'

Il nous faut ùiaintenant changer u en (w 4- w') pour obtenir le développement de l'inverse de <^3 u. Prenons la série (53)

pour en déduire d'abord, en développant la première fraction,

après avoir mis 5y*au Heu de 5,

Séparons les termes où 5 a l'exposant zéro. Le coefficient total est, pour ces termes,

Les autres exposants de z sont pairs; soit m l'un d'entre eux, positif. Le coefficient de z"*^ est égal à

celui de z~^ est le même, comme on le vérifie immédiatement, et comme cela doit être eu égard à la parité de la fonction. D'autre part, nous avons, d'après (53),

d'où résulte

voici donc le développement cherché

/> = i, 7, 3, ..., -i-x: m = 2, 4, 6, ..., -+-ac.

Réunissant les termes où p est partout le même, on obtient

I — 27'/'-* COS h <7t(lp-l)

Si, dans cette formule (58), on change m en (m + w), on obtient alors le développement de la fonction

Développements à convergence rapide pour les fonctions

de seconde espèce.

Dans les dernières séries (V^j), (55), (58), que nous venons de former, c'est un fait digne de remarque que la convergence ail lieu pour toutes les valeurs de la variable w, tandis que la série à double indice (53), d'où elles proviennent, converge seulement |)Our des valeurs limitées de cette variable, marquées par les inégalités (11). Nous avons déjà rencontré une circonstance analogue, sans la signaler toutefois : si nous comparons, en effet, les deux séries suivant lesquelles est développée la fonction Cm, la série dénotée (3i) dans le présent Chapitre, et celle qui porte le même numéro (XII, 3i) dans le précédent, nous devons reconnaître que Tune et l'autre proviennent de deux groupements difTérenls, effectués dans la série, à double indice,

X,u— cot — = T- > gfnpÇz"*— -""'),

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