CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Celle-cî n'est convergente que sous condition (ii), comme aussi la série trigonométrique (3i) de ce Chapitre; au contraire, la série (3i) du Chapitre XII est toujours convergente.

Mais les séries du dernier paragraphe présentent de plus la convergence rapide qui caractérise les séries 2r : les exposants de q varient comme les carrés des termes d'une progression arithmétique. C'est là une circonstance bien plus importante pour les applications.

Pour peu qu'on observe à quel groupement des termes est du ce fait remarquable, on voit la possibilité de le reproduire dans la série générale (12), qui représente la fonction de seconde espèce, et, par conséquent, dans toutes celles qu'on en déduit. Soit la série

OÙ l'on suppose

conditions sous lesquelles existe la convergence absolue. Prenons deux entiers positifs arbitraires jjl, v, premiers entre eux, et mettons en évidence la différence [jl/i — v/n=/^. Mous allons réunir les termes de S, dans lesquels p est positif, et multiple de ^jl pltis A', /i étant un des nombres o, i , a, . . . , ([x — i). Dans ces termes, v/n est un multiple de [jl, moins A', ce que nous rappellerons en mettant mf( au lieu de m. Soit S^ cette partie de la série S; elle compose la série à double indice, /?, m^, que voici :

Dans cette dernière, faisons une première sommation par rapport à /?, qui prend les valeurs A*, A" 4- |jl, A" -j- 2 [jl, Nous

aurons alors

44^ PREMÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Tous les termes de S oii p est positif sont fournis par la somme des séries analogues So, S| , . . . , S|j.i . Quant aux termes où p est négatif, on voit par l'échange des lettres qu'ils sont reproduits par ceux de v autres séries S'j, S',, . . . , S'y analogues

av yrihx^ , |jL/iA = — ^(modv).

Les nombres h doivent parcourir la suite i, 2, . . . , v et non o, i , 2, ..., (v — i), pour que les termes où p est nul ne soient pas comptés deux fois.

La série S est ainsi transformée de la manière désirée : dans les séries So, S», ..., S|jt i, la partie principale de l'exposant de a croît d'une manière comparable au nombre vr^, r étant le rang du terme; dans les autres S', jS^, ..., Sy, d'une manière comparable au nombre [xr^.

Cette transformation s'applique immédiatement à la série (12), qui représente la fonction de seconde espèce. Il suffit de remplacer a par y*-^, et x^ y par z^ , t'^ successivement et par

En effectuant cette transformation avec l'hypothèse [jl = i , v = 2, on obtient une série qui ensuite, par la supposition t^= :?"', conduit immédiatement à celle (54) que nous avons trouvée pour développer l'inverse de du. Nous nous contenterons de donner seulement le résultat de la transformation dans le cas le plus simple jjL zzi I , V = I. On a une seule série S^ et une seule S^ :

OU, sous une forme plus symétrique,

S = V a"»' jr'« y"» | ! \ ' i ) •

Cette transformation, appliquée aux séries (12), (18), (26), donne les résultats suivants, où nous employons les mêmes

CHAPITRB XIII. — DÉY£LOPPEMBNTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 44 1

abréviations que dans les formules (43)) et que nous rappelons : wir i^TT /i = I, 3, 5, . . ., (ufi — i)^ ..., -hx,

e ^ — cota — coib

— f X' /~"m> rsinm(a -t- 6) — y^ 8in[ ma -h(m — 2)6]

— 4^V^ 1^ I — 2^'»cosa6-f-y«''»

sinm(a-+-6) — <7"»sinr(/n — 2)a-4-m6] ,- , .."l

-4 i '- L !^ i — sin/n(a -H 6) 1

I — 2^'" CCS 2 a H- ^*'^ J

-—i 20) a'(a-ht') — ^!^' ^ l la même série où les nombres pairs m ^ '^ U'* 7c ^^v.'i^u "~ j sont changés en nombres impairs A-

tlm»

TT <fiV,^u ~ sina

1 i^l^^ \l-qni;ii i^qntz-t)

De ces formules, en faisant sur i^les mêmes hypothèses que plus

haut, on en tirera d'autres pour Ç//, ..., -r-> •• S par exemple :

= 4 y /^ pi""»«-?'"8in(m-a)a ^ g'" ,;„ ^a\ , ^^ ^ L l — iq»' coi-xa -\- q^"^ l — q'" J

I = 4 y /t^^'-'^ sin(n + i)a~<y^sin(/i-i)a ^ , V ^^ \ ^^V7 I — 2ûr«cos2a-4-^»« ^^v^

/«(/rt+i)

sinma

— cola

= i Y iV t^jT^ r sinma — q"^ sin(m — 2)a y^ sinmaT 4^V ; V7 J^ i-.2<7"»cos2a-f-<7«'« \-\-q"' J

Il n'est pas utile d'écrire ici toutes ces formules, que chacun

443 TREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

pourra aisément former au besoin. On peut remarquer encore les suivantes, avec treize analogues, qui s'oblicnnent par la supposilion r r= H^

(2(0 3'(2W) — ^TT" ^ — e *** — 2 cota, SI V est pair,

yj!/'

i I 2C0 3'(2W) -5JL

.y /r7;77rrnSin(2/>-hi)a~y/>sin(2/?-i)a

Âd ^ I — 2//P C0S2a -h ^/'/'

2C0 £3(2jO -V !