CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS iNÉGATlFS

sans changement dans les invariants. Il suit de là que, si 2(5 est une période quelconque, 2olG) en est une aussi. Pour préciser davantage, observons que Ci, e^ reproduisent e^ multiplié par a et a^.

Nous avons distingué e^ comme ayant sa partie réelle positive ; donc, si 62 est positif, nous aurons

Prenons ce cas, et faisons u -^ (02] il en résulte

p(aa),)^^aci ou p(aa)i) ^- e, = p(a>,). Par conséquent, m et m' étant deux entiers de la même parité,

î -^ (1)1 r- wj I — J -- 1 — I - mwj — m tn^.

Si le signe -\- convient, en séparant les parties réelles et le» parties imaginaires, nous aurons

I — — I - /w,. — (m -- j) ta^ = i ^— wj. D'après la première égalité, m est l'unité, m' est donc impair, et

iwj ^n-.i

Mais ce rapport est supérieur k l'unité, on l'a prouvé dans le paragraphe précédent; il ne peut donc être égal qu'à y/3. Si le signe — convient, on d^m^^ o, et

/ , i\ > iy^

avec m' pair. Là encore la conséquence est la même. Donc, pour g2=--oelff3> o,

ICO)

L'inversion de w^ et -4 correspondant au changement du signe de gzj on a aussi pour ^2 = o, «^3 < o.

«Wî /3

En joignant ces résultats aux précédents, nous pouvons conclure ce qui suit :

Util

gi • . o, ^î - O, — <^ ^-- < I ,

co.

co', î

Cas où ^3 est nul.

En ce cas, on a

(o'j r* dv

gty

et il faut observer que g2 est négatif comme le discriminant, qui se réduit à g\.

En mettant dans l'intégrale, au lieu de j^,

on obtient

y^-t^--gi^^y

2V^V^— ^îCO,

r* dt

Suivant les notations des intégrales culériennes, l'intégrale au second membre est

Cette dernière transformation fait apparaître la transcendante numérique A, trouvée au Chapitre II {Cas où gz est nul)^