APPLICATIONS DE LA THEORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS A CELLE

Préambule. — Double périodicité. — Parallélogramme des périodes. — Intégra* tion le long d'un parallélogramme des périodes. — Décomposition en éléments simples. — Décomposition en facteurs. — Décomposition des fonctions de seconde espèce. — Intégration dans l'étendue d'une période. — Théorème de Liouville. — Fonctions de troisième espère. — Séries doublement périodiques de troisième espèce. — Éléments simples et entiers de troisième espèce. — Élément simple et fractionnaire de troisième espèce. — Décomposition des fonctions de troisième espèce^ ayant plus de racines que de pôles. — Décomposition des fonctions de troisième espèce^ ayant plus de pôles que de racines. — Propriétés de l'élément simple, relativement au second argument. — Quelques formules relatives aux fonctions de troisième espèce.

Préambule.

Dans les Chapitres précédents, on a fait un usage exclusif des théories les plus élémentaires, ou, pour mieux dire, des théories anciennes de TAnalyse. Nous allons montrer maintenant les applications simples et élégantes par lesquelles la théorie générale des fonctions, envisagée dans ses premiers éléments, jette un jour nouveau sur les fonctions elliptiques.

Il faut, dans le présent Chapitre, admettre, comme bien connue du lecteur, la notion des fonctions entières (holomorphes) et des fondions fractionnaires (méromorphes) (*); celle aussi des intégrales prises entre des limites imaginaires, avec le théorème de Cauchy relatif à l'intégration d'une fonclion fractionnaire le long

(') La formation étymologique des mots holomorphe et niéroniorphe prête ù des critiques. C4'csl pourquoi on préfère ici les dénominations de fonction entière. et fractionnaire, dont le premier est déjà généralement employé.