CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

d'un contour fermé. Deux propositions, dues à Cauchj', et qui, dans tous les Traités actuels d'Analyse, accompagnent ces notions générales, seront, en outre, employées et rappelées en leur lieu.

Nous allons d'abord étudier les fonctions doublement périodiques, en général, et reconnaître qu'il n'en existe point d'autres que les fonctions elliptiques. Nous exposerons ensuite une théorie, toute nouvelle, de décomposition en éléments simples, due à M. Appell.

Double périodicité.

Jacobi, dans un Mémoire (*) de i834, expose ainsi les premiers principes de la double périodicité :

« Supposons une fonction admettant deux périodes, qui ne puissent être ramenées à une seule. Soient aw, 210' ces périodes. En désignant par m, m' des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, on en conclut aussi la période amio -|- am'w'.

» Il est d'abord évident que les périodes 2tû et 210' doivent être incommensurables entre elles; car, si 2Û était leur plus grande commune mesure (en valeur absolue ou module), on pourrait poser

o) — fnQy to' = m'Q,

m et m' étant des nombres entiers, premiers entre eux. On pourrait donc déterminer deux autres entiers n, n\ de telle sorte qu'on eut

mn -\- m' n' = i.

» Il en résulterait

et 2Û serait une période, à laquelle se ramèneraient 210 et 2(0', qui en sont des multiples.

» Le quotient des deux périodes, on vient de le voir, ne peut

(') De functionibus duaruni variabilium quadrupliciter periodicis j elc. {Journal de Crelle, t. 13, p. 55, et Gesammelte Werke, t. II, p. 25).

être commcasurable. Il est aîsé de reconnaître aussi qu'il ne peut être réel. Soient, en effet,

e et c' étant deux quantités réelles, incommensurables entre elles. On peut trouver des entiers m, m', tels que

mz~r- m'z'= e'

soit plus petit que toute quantité donnée (on le sait par la théorie des fractions continues). Cela étant, 2e"Û sera une période, plus petite que toute quantité donnée, mais cependant différente de zéro. Ce qui ne se peut, »

Cette impossibilité, affirmée sans preuve par Jacobi, résulte clairement d'une proposition empruntée à la théorie des fonctions, et se formulant ainsi : Les points, pour lesquels une /onction fractionnaire reprend une même valeur, sont isolés, si la fonction ne se réduit pas à une constante ( ' ).

Parallélogramme des périodes*

Nous supposerons désormais que co et lo' soient deux quantités imaginaires quelconques, dont le rapport ne doit pas être réel. C'est précisément, comme on l'a vu (p. i8/\)^ la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des fonctions elliptiques admettant les périodes 210, aw'.

Ainsi qu'on l'a déjà fait observer (p. 284)» on peut, sans restriction, convenir de choisir d'une manière déterminée le signe de

la partie réelle de -:- • Ce signe change, en effet, si l'on intervertit

(0 et 0)'. Comme précédemment, nous choisirons le signe plus.

Quand on représente sur le plan, comme il est d'usage pour les quantités imaginaires, les deux quantités aw, aw', la convention, dont il vient d'être parlé, se traduit fort simplement sur la figure. L'angle que la droite dirigée, représentant 2(0', fait avec

(') Voify par exemple, le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, par M. G. Jordan, t. II, p. 3i/|. L'énoncé ci-dessus est textuellement emprunté à cet Ouvrage.