CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

On a ainsi, dans ce cas particulier,

Lemme sur les expressions asymptotiques de certaines

intégrales définies.

Soit à trouver, pour e infiniment petit, une expression asymptotique de l'intégrale

'^^dy^ C>B, /(7 — a)*-+-e*

où l'on suppose que a soit entre B et C, et que A(a), ^\(i) aient des valeurs finies. Partageons V en deux intégrales U et U', ayant pour étendue : la première, l'intervalle (B, a); la seconde, l'intervalle (a, C). De plus, pour pouvoir même supposer B ou C infinis, partageons encore U en deux autres Ui, Ua dans les intervalles (B, b) et (b, a); et U' en deux autres, U', et U'j dans les intervalles (a, c) et (c, C). Nous allons d'abord trouver une expression asymptotique de

Considérons l'intégrale

Dans la difTérence

la fonction intégrée ne devient pas infinie quand £ est infiniment petit. Donc la limite de l'intégrale est égale à l'intégrale de la limite, c'est-à-dire

On remarquera qu'il faut mettre efiectivement (a — y) o. non

{y — a) pour la limite de y/(jK — a)^-t- e"^ , puisque ce radical est pris positivement et que^, dans l'intégrale, est moindre que a.

Cette dernière intégrale peut être considérée comme la limite de

quand a tend vers a; précisons davantage en supposant encore 0L<Cci* D'ailleurs

b donc

lim(U, — w)=Iiin f i^Zli^: ^ ^(a) iog(a - a) — ^(a)log(a-6). e = o aL-a\Jf, CL— y J

• / =4'(«)loff 7:

Substituons à u son expression finie et faisons passer le terme i}^(a)log(a — b) au premier membre; observons, en outre, l'égalité suivante, où e est supposé infiniment petit ;

v/(a— ô)*-h £* — (a— b) Nous pouvons maintenant conclure

e-^oL ^J a=r/ L,./^ a— y J

D'ailleurs l'intégrale Ui, prise dans un intervalle qui ne contient pas a, converge, pour s = o, vers l'intégrale de la limite, c'està-dire vers

^{y^ dv

a -y Donc, en ajoutant U| et Ut, on a

lim [u - 4^(a)log^l = lim [ r ^^^^L^ - ^(a)log(a- a)l , a < a; Pour l'intégrale U', prise dans l'intervalle (^r, C), le calcul est