CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

et que les expressions de ces deux parties sont les suivantes :

1E(m) = Xo Eo(w) -^ Xï El (m) -h. . . -h \rn-i E,n-i{u)y

Les coefficients X, ..., R, ... sont indépendants de iiy et, dans la seconde partie F( w), la sommation s'applique aux divers pôles i^, dont, pour chacun, p marque Tordre de multiplicité.

Celte même formule (3i) est propre à donner l'expression de toute fonction <f{u) ayant mêmes multiplicateurs que ^(w), fonction dont l'égalité (25) a fixé la nature. En effet, ayant une telle fonction ç(w), on pourra déterminer F(u) par la condition que «p(w) — F(«^) soit une fonction entière. Il suffira, pour ce but, que les coefficients R, pour chaque pôle Vy soient ceux du développement de ç(m) suivant les puissances ascendantes de {u — r), comme il suit :

La différence (p(w) — F(f/), ne devenant plus infinie, est dès lors une fonction entière, elle-même de la forme (25), puisqu'elle a toujours les mêmes multiplicateurs que ^(u) etF(w). Comme elle n'a plus de pôles^ la somme de ses racines est une période, zéro, si l'on veut (26). Ces racines sont au nombre de m, dans un parallélogramme des périodes, et, si l'on donne (m — i) de ces racines, la dernière se trouve fixée. Or on peut déterminer les rapports mutuels des m coefficients X, dans E(m), de manière que E(w) ait précisément ces (m — i) racines, et, par suite, aussi la dernière, en commun avec «p(w) — F(w)* Le rapport de cette fonction avec E(«^) est doublement périodique (de première espèce), puisque les multiplicateurs sont respectivement les mêmes pour l'une et pour l'autre. Mais ce rapport reste toujours fini; c'est donc une constante.

Sous une autre forme, on peut dire que toute fonction ç(w), définie par l'égalité (25), est développable en une série telle que ^(w), la fonction rationnelle 0 étant com^enablement choisie.

D'après une remarque drjà faite (p. 470> t^>ute fonction de troisième espèce, ayant plus de racines que de pôles, se réduit au produit de o[if-\-a) par une exponentielle du second degré. Aussi, pour ces fonctions, la formule de décomposition subsiste, sauf changement de u en (w -\- a) dans E et dans F, et sauf multiplication de ces éléments par l'exponentielle.

Décomposition des fonctions de troisième espèce ayant plus

de pôles que de racines.

Les fonctions fractionnaires de troisième espèce qui ont plus de pôles que de racines sont les inverses de celles qui ont plus de racines que de pôles. Une telle fonction 4>(^/) a donc pour forme générale

(33) ^Uu) = e-^"'-i'''* [. ..,

OÙ '^(u) est une quelconque (?.5) de celles qui ont les mêmes multiplicateurs que F(w,r).

Soit, pour abréger,

(30 Vin ~a, V -+- a) e'*^"* -••'»"^>*''"-»'' = .t(//, v').

Le produit <P(u)^(it, v) est, par suite, une fonction fractionnaire de z/, doublement périodique de première espèce. La somme de ses résidus dans un parallélogramme des périodes est donc nulle. En supposant u et i> représentés par des points intérieurs à un môme parallélogramme, on voit se reproduire ici l'analyse de M. Hermile, relative aux fonctions de première ou de seconde espèce, et Ton conclut

car rT(//, ç) a, comme F(//, r), le pôle u -^ v avec l'unité pour résidu.

Dans cette formule, w désigne successivement les divers pôles de ^(^') à l'intérieur d'un parallélogramme dos périodes conte-