CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

liant r, et les coefficients II sont ceux du développement de ^(i') autour du pôle (v:

i . Ri Hu

Ainsi, et c'est là une circonstance très remarquable, la même fonction F(«/, i'), mais considérée au point de vue du second argument, sert ici d'élément simple. Mais ce qui n'est pas moins digne de remarque, c'est que le second membre de la formule de décomposition (35), si l'on y mettait des coefficients R tout à fait arbitraires, ne serait pas doublement périodique (de troisième espèce) comme ^{^)- Il convient de s'arrêter un peu sur ce sujet.

Si, pour composer la fonction rf, on avait mis dans son expression (3/j), au lieu de la fonction fractionnaire F(w -f- «, r -f- a), l'une des fonctions entières Er(«/ -h a), la suite de l'analyse se serait faite comme précédemment; mais le produit ^(w) J'(w, i') n'aurait pas eu de pôle provenant du facteur ^, et, dans l'égalité (35), le premier membre eût été remplacé par zéro. Ainsi, soit

(3;) Er{u-r-a)e^'"*^^'"=C,{u), r = o, i, ...,(//i — i).

Les coefficients de la formule de décomposition (35) satisfont à m éqiiationSf telles que

(38) ^[K, Cr(M^) -H R, Crii^)^. . .4- R,,-, C\r-^K»')] = <>,

C'est, en quelque sorte, une généralisation de la propriété spéciale aux fonctions doublement périodiques ordinaires, ou de première espèce, propriété consistant en ce que la somme des résidus Bq est nulle.

Il reste encore à s'assurer que les m relations (38), qu'on vient de trouver, sont suffisantes pour rendre le second membre de la formule (35) doublement périodique de troisième espèce. Ceci nous amène à chercher l'effet de l'addition des périodes au second argument dans l'élément simple, et c'est là un des points les plus intéressants de cette théorie.

Propriétés de l'élément simple, relativement au second arg^ument.

D'après la définition (3o), on voit que F(w, ç) est une fonction fractionnaire de r, et qu'elle possède, dans chaque parallélogramme des périodes, un seul pôle i^ = u -{- 2 k tù -i- ik' tù' ,

Quoique F(w, v) serve d'élément simple pour les fonctions de r, de troisième espèce, qui ont m pôles de plus que de racines, il est donc certain que F(w, r) n'est pas, elle-même, une de ces fonctions, puisqu'elle a un seul pôle.

Posons, pour abréger,

^ V{ii, ç) =f{y) ^^x'""q"^''"^-''^^—,y

et concluons

/( <y 2 j ) = \^ x"^ '' q "' '' trt

Xq^n-i. y

Comparons avec y"^f{y)j après avoir changé, dans/(j'), /i en

Y'" fi y) = X x"^^'^~^^cf"^^'^~^^^'*'~^^

Xq'in-t — y'

nous tirons de là

Mais on a identiquement

Xqiif' — ii y

= (x^/5«-î)'" -ï-f-j(j772/i-2)//i-2.^ ^ ^ ^ ym-i X qin~2 ^. ym-1 ^

La différence (Sp) ne contient donc plus de partie fractionnaire et s'écrit ainsi

r.rjl!:,„,(a)-h/2E,„5(w)-h...-hj"'-»E,rw)H-7"'Eo(M).