CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

analogue. Nous prenons à la fois

Par la même raison que précédemment

£=o\ £/ a':=rtLJ3j. y — o- J

lim^(u' - 4.(a) log ?) = nmjy^'^^^^

En ajoutant maintenant U et U', nous avons le résultat cherche lim(v-4.(a)logA) = jim Tj^iM^' + 4.(a)log(a - a)l (a<a),

^ lim Ç ^^y^^y -f-<l(«)log(g -q) (a'>a). a=«LJa' 7--« I

C'est en quoi consiste le lemme que nous avions en vue d'établir. Appliquons ce résultat en supposant

Nous aurons

«/B ^~7 «/ Ja 2(a ~y)\Jy -f- 2a

Cette quantité, pour a = a, prend la valeur — ^log 12a. Nous avons de même

r^^(y)dy ^ r' dy

dont la limite est aussi — - — log i ia.

Le résultat est donc

lim/^ r , "y ;,ogtey] = «; a>o

Expressions as3rmptotiques des périodes quand le discriminant

devient nul.

Revenons maintenant aux périodes de la fonction elliptique. Supposons ej > o et ei, e^ convergeant l'un vers l'autre; en prenant e2 = aa, e, = — a -|- «e, ^3 = — a — is, l'intégrale précédente n'est autre que -^ 7 et nous avons

En même temps, on a