IZ^^ I

lim Je *"« = — s^*

Puis, changeantes en — ^3 avec échange de cuj et — ? :

Quand le discriminant négatif tend vers zéro et que g^ est négatif, on a

A = o, ^3 < o, J = — X , \/\igt = /6 v^— gz ,

lim V i2^j — ri — r,

\ liin[{'i2é', wj — Iog(— n'j)] = o,

Dans ces formules, g2 est positif, puisque ^J — ^'J ffl ^st nul; la racine V 1 2^2 est réelle et positive.

Dégénérescence de pu.

Cet examen des valeurs limites pour les périodes doit être complété par celui de la valeur limite pour la fonction pu.

En supposant, comme précédemment, que e« et e^ convergent vers — a, e^ vers aa > o, la définition

Jpu //(/)

donne, à la limite,

pu '^{y-^a)/y^'ia

Prenant une nouvelle variable d'intégration 5, posons

y — 7.a ~ 3a5', pa — 2a = 3aZ*;

go PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

nous aurons

uJ'ia - I —arccotZ.

Cet arc est compris entre o et - si, comme on le suppose dans

la définition par l'intégrale, pu est supérieur à f?2 et le radical positif. Nous avons donc

pu — aa — 3a cot' u^Za

ou encore

pu = — a - i ; =n •

sin' w /3 a

Mettant ce résultat et les précédents sous une forme analogue J^ celle qui a été employée (Chap. I) pour le cas du discriminant positif, nous avons

eir-^e3 = — a, ej ^ aa, ^j = laa*, ^3=^ Sa';

sin'

formules de tout point semblables à celles du Cbapitre I, où le discriminant tendait vers zéro par des valeurs positives. A cause de ce fait, il est évident que les formules du même Chapitre, relatives au cas g^ <-ri o, s'appliquent encore ici, sauf échange de €2 et ^3.