CHAPITRE IV

PROPRIETES COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES, QUEL QUE SOIT LE SIGNE DU DISCRIMINANT. - MULTIPLICATION. — INVERSION.

Développemeat de pu suivant les puissances ascendantes de u. — Remarque sur la notation des périodes. — Multiplication de l'argument : multiplication par 2.

— Multiplication par 3. — Multiplication par un nombre entier quelconque. — Calcul delà fonction ^^{u). — La fonction y^ : son calcul par une formule récurrente. — Cas où n est un nombre composé. — Théorème sur la fonction y^.

— Sur les racines de la fonction p" u. — Racines de p" u quand le discriminant est positif. — Racines de p" u quand le discriminant est négatif. — Sur Téqua-

tion p'u - c. — Sur une transformation de la quantité ^— • — Autre

^ pu — pv

transformation de • — Inversion des intégrales elliptiques. — Racines

pu — pv

de l'équation du quatrième degré. — Caractères de réalité des racines. — Distinction des racines pa.r ordre de grandeur. — Variation simultanée de la variable X et de l'argument u. — Cas où quatre racines sont réelles. — Cas où les quatre racines sont imaginaires. — Cas où deux racines sont réelles et deux imaginaires. — Inversion en quantités réelles. — Autre forme de l'inversion. — Cas où le polynôme est du troisième degré.

Développement de pu suivant les puissances ascendantes de u.

Ce développement ne peut pas être obtenu par la série de Maclaurin, puisque pu est inOni pour u = o. Nous avons vu, dans le Chapitre précédent {Infinis de pu), un moyen de trouver le premier terme de ce développement. Il consistait à employer la formule d'addition, exprimer p{u — v) par pu ei pv, à supposer dans cette formule u^^ v -^ z^ cik développer, au second membre, le numérateur et le dénominateur suivant les puissances croissantes de z par la formule de Taylor. On s'est borné au premier terme, mais il est clair que cette méthode permettrait de trouver autant de termes qu'on voudrait. Les calculs seraient fort laborieux.

Cet aperçu montre toutefois qu'il existe, pour pw, un développement suivant les puissances de u, à exposants entiers et crois-

sants, dont le premier est — 2. Soit (à cause de la parité de pu)

(1) p W = ~ -4- Cl -1 Cj W* -f- C3 w* -F- . . . -i- c^ w*^-* ~ . ..

ce développement ; cherchons les coefficients, par voie de récurrence, en nous fondant sur la propriété

(2) p"'u = i^pup'u.

Il résulte de là

p' u = j -I- 2C,a --- 4^3"' -^•••-'- (2X — 2)Cj^a*^-»-4-. . .,

p' u — — -h2Cj -i- I2C3W*-- ... '-(2X — 2)(2X — 3 )c^ W*^"*-^- . . . ,

P*"!* = ^ -h24C3M - ... -('iX — 2)(2X — 3)(2X — 4)C^ M*^-*-T-....

Substituons dans l'égalité envisagée, et égalons terme à terme, dans p"^ u et dans 12 j^w p'w, les coefficients des puissances semblables de u. Les termes en — r ont même coefficient. L'absence du

terme en — ^ dans p"^ u exige que l'on ait C| = o. Cela étant, le terme

en - manque dans 12 pu p'u^ quelque soit Ca, et enfin les termes

en f/ sont égaux quel que soit C3.

On trouve ensuite une formule récurrente entre les coefficients successifs : le terme en u^^~^ a pour coefficient, dans j3'"w,

et, dans 12 pu p' u, 24[(X — i)Cj^-f-(X — 3)cjC5^j-h(X— \)c^c^^'^ , , , ^ c^^ct — c^'\

— 24(X — 2)C^-f-I2(X — ^)(^J^X-s'^^3^X-a~^^*^X-*"^ ... -H Cj^,Cj).

D'ailleurs

Par conséquent, voici la formule récurrente où X est expressément supposé supérieur à 3 :