CHAPITRE lY. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

Pour déterminer les coefficients Cj et C3, il faut recourir à la relation

C'est, en effet, l'intégrale seconde de l'équation différentielle (2). A ce point de vue, g2 et g^ sont deux constantes arbitraires, qui, dans la série précédente, sont remplacées par les constantes C2 et C3. En poussant les développements jusqu'aux termes indépendants de £/, on a

De là les deux équations

d'où résulte

Cj = — j C3 = -^ •

La formule récurrente donne ensuite

' 2». 3. 5». 7. Il' * 17 \2*.7*.ii.i3 2».3.5».i3/

(4) ?n = \-^^u^-^^u^+-r^u^-^ ^^f'^^ a»4-.... ^^ ^ w* 20 28 2*. 3. 5* 2*. 5. 7. Il

On ne manquera pas de remarquer que l'homogénéité est traduite dans ce développement par la forme des coefGcients.

Quant à la convergence, il est clair que ce développement ne saurait, par sa forme seule, en faire trouver les limites. Mais le théorème de Cauchy, appliqué à la fonction pu, fait connaître les limites de cette convergence; à savoir : dans le cas du discriminant positif, la condition de convergence est que la valeur ab-

solue {^) de u soit inférieure à la plus petite des deux quantités liù ou —r-y et y dans le cas du discriminant négatif, à la plus pe-

tite des trois quantités 9.102, —r^ et l/a>î -4- (-^ ) •

Ces propriétés si cachées, et que nous révèle seulement la connaissance acquise préalablement de la fonction pu, ne peuvent en aucune façon apparaître dans le développement lui-même. C'est pourquoi il ne saurait être question de prendre ce développement pour base d'une généralisation de la fonction pu. Des formes de développement bien différentes serviront à nous faire atteindre ce but. Pour le moment, il suffit de considérer le développement (4) comme on fait dans les éléments du Calcul différentiel; c'est une formule d'approximations successives de la fonction pu, quand u est suffisamment petit.

Ace point de vue, le développement (4) pourrait être envisagé comme permettant d'établir avec facilité une table des transcendantes j3«/ el p^ u pour de petites valeurs de u. On passerait ensuite de là à toutes les valeurs de u par les formules d'addition, ou encore par la multiplication de l'argument. C'est cette dernière théorie qui va maintenant nous occuper.

Remarque sur la notation des périodes.

A partir du présent Chapitre, nos raisonnements porteront très souvent, à la fois, sur les deux cas, du discriminant positif ou négatif. Il en sera toujours ainsi quand le contraire ne sera pas mentionné. Dès lors, il y a lieu de s'entendre sur la manière de dénoter les périodes.

La coutume ne permet de renoncer ni à la notation (w, w') que nous avons employée pour les discriminants positifs, ni à la notation (tO|, (03), dont nous avons fait usage pour les discriminants négatifs.

Nous conserverons ces deux notations, que nous emploierons, pour ainsi dire, indifféremment dans beaucoup de cas. U est même utile de les entendre, dès à présent, d'une manière générale. Nous conviendrons donc, toutes les fois que le contraire ne sera pas dit

(*) La valeur absolue d'une quantité imaginaire, c'est ce qu'on appelle communcraenl son module.