CHAPITRE IV. -- PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. gf

expressément, de désigner par w, to' et tù" -- to -|- (o', trois demipériodes quelconques, que le discriminant soit positif ou négatif. Et l'on ne devra pas perdre de vue c^xxune demi-période est un argument qui rend nulle la fonction p' ,

Dans les cas où Ton voudra mettre en évidence les valeurs de p pour chacune des demi-périodes, on emploiera de préférence la notation tùx , 103, Wa = (0| -^- (03, quel que soit le signe du discriminant.

Multiplication de Targument; multiplication par 2 (^).

Puisque p{u -j- i'), ainsi que p' {u -h v)^ s'exprime en fonction rationnelle de pUj p' u^ pi', p'ç, la conséquence immédiate, relative à la multiplication de l'argument, consiste en ce que, n étant un nombre entier j p{nu) s'exprime en fonction rationnelle de pw et p' u.

C'est la composition de cette fonction rationnelle qu'il s'agit d'étudier.

Pour obtenir p( 2 w), prenons la formule

1) 1/ -\- pv -piii — i') = 7 ( ~ — 1

En y faisant converger i' vers u, nous devons remplacer, au

second membre, le rapport qui se présente sous la forme - par le rapport des dérivées. Nous aurons donc

De là résulte

p^ u -4- \ /Tt p' u H >. >g-3 P M — A /T j

4p3M — ^SPM— -3

Nous écrirons de préférence cette formule ainsi

/ V —'^P^u-^]fi'fP^u-^'^/r^pu-~^^l

p(2U)-pU= '- = j^^ '-^-^'

Le polynôme numérateur, changé de signe, est le troisième d'une suite indéfinie que nous allons bientôt connaître; ces poly-

(') Voir aussi Chapitres VI et I\.

96 PBBXIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

nômes seront désignés par la notation ^(u) avec un indice marquant le rang de chacun d^eux.

Posons, dès à présent,

et écrivons, d'après cette notation,

(8) p(:,i,)pi,^M3.

Multiplication par 3.

Passons à p{Zu). Par la formule d'addition

o ( p n pv — \: S'i) ( p n — pv) — fir^

p(U'^v)-hp{u — p) =

(pu — pv)^

nous obtenons, en faisant v=2u et substituant l'expression de

P(ZU) 1 PU^ -^[(P^ff "T.^Op'^"—'\'^P"]('>P"P'*tf — ^^) — ^^P'^t^

En retranchant o,pu aux deux membres, on voit apparaître, au numérateur du second membre, le facteur p'^w, et il vient

Posant, suivant la même loi,

nous écrirons

(10) P(3w)--pw = — ^•

Sans aller plus loin dans ces calculs directs, rendons compte de la composition des expressions trouvées pour p{'2u) — pu et p{iu)-'pu.

Multiplication par un nombre entier quelconque.

En premier lieu, p(nu), étant exprimable rationnellement par pu et p'w, aura la forme A + Bjj'w, où A et B seront rationnels